[v2.4] Q-CDT-O: Persistent $K_{2,2,2}$ Shell and Boundary-Exact Coherent Causal $S^2\times I$ Worldtube

0. 지위와 목적

본 모듈은 persistent-vertex Q-CDT 위에서 정의되는 causal shell worldtube의 최소 구조를 정의한다.

본 모듈에서는 O-motif를 정의하지 않는다.

따라서

$$
\mathcal M_O^{\mathrm{int}}=\varnothing
$$

를 유지할 수 있다.

본 모듈의 기본 구조는 다음과 같다.

persistent vertex identity $\longrightarrow$ persistent $K_{2,2,2}$ pattern $\longrightarrow$ octahedral $S^2$ shell $\longrightarrow$ boundary-exact causal $S^2\times I$ worldtube

 

본 버전은 다음을 명시적으로 구분한다.

1. vertex identity persistence
2. graph-pattern persistence
3. spatial shell realization
4. boundary-exact causal relative-product transport
5. multi-sandwich worldtube gluing

특히 한 시간층에 $K_{2,2,2}$가 존재한다는 사실만으로 causal worldtube가 자동으로 형성되는 것은 아니다.

1. Persistent-vertex Q-CDT carrier

Q-CDT spacetime configuration을

$$
Q=(K,\tau,\lambda)
$$

로 둔다.

여기서 \(K\)는 finite causal simplicial spacetime complex이고,

$$
\tau:K^{(0)}
\longrightarrow
\{0,1,\ldots,N_\tau\}
$$

는 discrete time-layer function이다.

시간층 \(n\)의 simplicial vertex set은

$$
V_n= \{v\in K^{(0)}:\tau(v)=n\}
$$

이다.

persistent physical vertex identity의 유한 집합을 $\mathcal V_Q$라고 한다.

각 시간층마다

$$
\lambda_n:=\lambda|_{V_n}:V_n
\xrightarrow{\sim}
\mathcal V_Q
$$

가 bijection이라고 가정한다.

따라서

$$
|V_n|=|\mathcal V_Q|
\qquad
\forall n
$$

이는 단순한 vertex-number conservation보다 강하다.

각 physical vertex identity는 모든 시간층에서 정확히 하나의 simplicial representative를 갖는다.

2. Canonical identity transport

인접 시간층 사이의 canonical vertex transport를

$$
\iota_n=\lambda_{n+1}^{-1}\circ\lambda_n
:
V_n
\longrightarrow
V_{n+1}
$$

로 정의한다.

따라서

$$
\lambda_{n+1}(\iota_n(v))=\lambda_n(v)
$$

즉 \(v\)와 \(\iota_n(v)\)는 동일한 persistent physical vertex의 successive representatives이다.

여러 시간층 사이의 transport는

$$
\iota_{n\to m}=\iota_{m-1}\circ\cdots\circ\iota_n,
\qquad n<m
$$

으로 정의한다.

이 transport는 별도로 선택되는 graph matching이 아니라 persistent vertex identity에서 canonical하게 유도된다.

3. Causal realization of persistent identity

identity persistence와 causal connection은 구분한다.

본 worldtube support에 속하는 vertex들에 대해서는

$$
{v,\iota_n(v)}
\in E_t(S_n)
$$

를 요구한다.

따라서 해당 physical vertex는

$$
v^{(n_0)}
\to
v^{(n_0+1)}
\to
\cdots
\to
v^{(n_1)}
$$

이라는 discrete causal identity track을 갖는다.

이 timelike edge는 spatial Qaether bond를 의미하지 않는다.

$$
\text{identity timelike edge}
\neq
\text{spatial primitive bond}
$$

4. Persistent six-vertex support

persistent physical vertex set에서

$$
X =
\{
x_1^+,x_1^-,
x_2^+,x_2^-,
x_3^+,x_3^-
\}
\subset\mathcal V_Q
$$

를 선택한다.

각 시간층에서 corresponding representatives를

$$
X_n=
\lambda_n^{-1}(X)
\subset V_n
$$

로 둔다.

공간층의 spatial \(1\)-skeleton을

$$
G_n=
\operatorname{sk}_1(K_n)
$$

이라 한다.

\(X_n\)이 생성하는 induced spatial subgraph를

$$
H_n=
G_n[X_n]
$$

으로 정의한다.

induced condition은 \(X_n\)의 여섯 vertex 사이에 \(G_n\)에서 존재하는 모든 spatial edge를 \(H_n\)에 포함한다는 뜻이다.

5. Persistent $K_{2,2,2}$ pattern condition

physical six-vertex support \(X\)에 fixed opposite-pair matching

$$
P_X=
\left\{
{x_1^+,x_1^-},
{x_2^+,x_2^-},
{x_3^+,x_3^-}
\right\}
$$

을 둔다.

시간층 \(n\)에서 corresponding opposite pairs를

$$
P_{X,n}=
\left\{
\{
\lambda_n^{-1}(x_i^+),
\lambda_n^{-1}(x_i^-)
\}
:
i=1,2,3
\right\}
$$

로 정의한다.

어떤 discrete time interval

$$
I_N=\{n_0,n_0+1,\ldots,n_1\}
$$

에서

$$
E(H_n)=
\binom{X_n}{2}
\setminus P_{X,n}
\qquad
\forall n\in I_N
$$

을 요구한다.

따라서

$$
H_n\cong K_{2,2,2}
\qquad
\forall n\in I_N
$$

canonical identity transport는 graph incidence를 보존한다.

$$
{u,v}\in E(H_n)
\iff
{\iota_n(u),\iota_n(v)}
\in E(H_{n+1})
$$

따라서

$$
\iota_n|_{X_n}:H_n
\xrightarrow{\sim}
H_{n+1}
$$

은 canonical graph isomorphism이다.

이 조건을 persistent $K_{2,2,2}$ pattern condition이라 한다.

중요하게도

$$
\text{vertex identity persistence}
\not\Rightarrow
K_{2,2,2}\text{ pattern persistence}
$$

본 버전에서 pattern persistence는 causal-worldtube admissibility condition이다.

6. Auxiliary octahedral shell

\(H_n\cong K_{2,2,2}\)의 maximal clique는 모두 3-clique이다.

세 opposite pair 각각에서 하나의 vertex를 선택하므로 정확히

$$
2^3=8
$$

개의 triangular clique가 존재한다.

(H_n)의 (2)-dimensional clique complex를

$$
\widehat{\mathcal B}_n=
\operatorname{Cl}_2(H_n)
$$

로 정의한다.

그 maximal (2)-simplices는

$$
[x_1^{\epsilon_1},
x_2^{\epsilon_2},
x_3^{\epsilon_3}],
\qquad
\epsilon_i\in \{+,-\}
$$

따라서

$$
f_0=6,
\qquad
f_1=12,
\qquad
f_2=8
$$

이 complex는 octahedron boundary와 조합적으로 동형이다.

$$
\widehat{\mathcal B}_n
\cong
\partial\mathrm{Oct}
$$

따라서

$$
|\widehat{\mathcal B}_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

Euler characteristic

$$
6-12+8=2
$$

는 이 combinatorial identification의 consistency check이다.

7. Auxiliary shell과 Q-CDT spatial simplex의 구분

\(\widehat{\mathcal B}_n\)은 graph clique data에서 생성한 abstract simplicial complex이다.

따라서 $H_n\cong K_{2,2,2}$만으로 그 8개의 triangular clique가 실제 $K_n^{(2)}$에 속한다고 할 수 없다. 또한, $\widehat{\mathcal B}_n$은 primitive Qaether filled surface가 아니다.

이는 Q-CDT의 auxiliary simplicial carrier 위에서 정의되는 incidence object이다.

8. Shell-realization condition

worldtube를 실제 Q-CDT simplicial carrier 안에서 정의하기 위해

$$
\widehat{\mathcal B}_n
\hookrightarrow
K_n
$$

인 simplicial embedding이 존재한다고 요구한다.

이 embedding은 \(H_n\)의 vertex와 edge incidence를 그대로 보존한다.

동치로, 8개의 triangular clique 모두가 actual spatial triangles로 realization된다.

$$
\widehat{\mathcal B}_n^{(2)}
\subseteq
K_n^{(2)}
$$

그 realized image를

$$
\mathcal B_n
\subseteq
K_n
$$

이라 한다.

따라서

$$
\mathcal B_n
\cong
\partial\mathrm{Oct}
$$

이고

$$
|\mathcal B_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

9. Internal-shell status

\(\mathcal B_n\)은 공간층의 manifold boundary가 아니다.

기존 T-only Q-CDT에서는

$$
\partial K_n=\varnothing
$$

이므로

$$
\mathcal B_n
\not\subseteq
\partial K_n
$$

또한

$$
|K_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
\Sigma
$$

인 closed spatial topology를 그대로 유지한다.

따라서

$$
\mathcal B_n
= \text{embedded internal }S^2\text{-shell subcomplex}
$$

본 모듈에서는 puncture 또는 manifold-with-boundary spatial sector를 도입하지 않는다.

10. Shell identity transport

persistent graph transport는 shell의 simplicial incidence도 canonical하게 운반한다.

$$
F=[u,v,w]
\in
\mathcal B_n^{(2)}
$$

이면

$$
\iota_n(F)
=[\iota_n(u),\iota_n(v),\iota_n(w)]
\in
\mathcal B_{n+1}^{(2)}
$$

따라서

$$
\iota_n^{\mathcal B}
:
\mathcal B_n
\xrightarrow{\sim}
\mathcal B_{n+1}
$$

은 canonical simplicial isomorphism이다.

이는 별도로 선택한 shell matching이 아니라 persistent vertex identity에서 유도된다.

11. Boundary-exact coherent causal relative-product condition

shell identity가 존재한다는 것만으로 worldtube가 자동으로 형성되지는 않는다.

각 sandwich

$$
S_n
$$

안에 3-dimensional simplicial subcomplex

$$
W_n\subseteq S_n
$$

가 존재한다고 요구한다.

또한 다음 PL homeomorphism of triples가 존재해야 한다.

$$
\Psi_n:
\Bigl(
|\mathcal B_n|\times[0,1];
|\mathcal B_n|\times{0},
|\mathcal B_n|\times{1}
\Bigr)
\xrightarrow{\cong_{\mathrm{PL}}}
\Bigl(
|W_n|;
|W_n|\cap|K_n|,
|W_n|\cap|K_{n+1}|
\Bigr)
$$

이를 boundary-exact coherent causal relative-product condition이라 한다.

추가로 다음 endpoint identifications를 요구한다.

11.1 Lower boundary identification

모든

$$
x\in|\mathcal B_n|
$$

에 대해

$$
\Psi_n(x,0)=x
$$

따라서 정확히

$$
|W_n|\cap|K_n|=
|\mathcal B_n|
$$

\(W_n\)과 \(K_n\)은 동일한 ambient simplicial complex의 subcomplex이므로 동치로

$$
W_n\cap K_n=
\mathcal B_n
$$

11.2 Upper boundary identification

모든

$$
x\in|\mathcal B_n|
$$

에 대해

$$
\Psi_n(x,1)
= |\iota_n^{\mathcal B}|(x)
$$

따라서 정확히

$$
|W_n|\cap|K_{n+1}|
=|\mathcal B_{n+1}|
$$

동치로

$$
W_n\cap K_{n+1}
= \mathcal B_{n+1}
$$

11.3 Persistent-vertex compatibility

모든 shell vertex

$$
v\in V(\mathcal B_n)
$$

에 대해

$$
\Psi_n({v}\times[0,1])
=|{v,\iota_n(v)}|
$$

즉 product의 vertical vertex track은 persistent physical vertex의 identity timelike edge와 일치한다.

11.4 No extra spatial-slice contact

11.1과 11.2에 의해

$$
|W_n|
\cap
\left(
|K_n|\cup|K_{n+1}|
\right)=
|\mathcal B_n|
\sqcup
|\mathcal B_{n+1}|
$$

따라서 worldtube interior는 sandwich의 lower 또는 upper spatial slice와 추가적인 접촉을 갖지 않는다.

이 조건은 v-0.4에서 endpoint image만으로 암묵적으로 사용했던 boundary-intersection property를 명시적으로 닫는다.

12. Triangular prism PL subpolyhedra

각 $F\in\mathcal B_n^{(2)}$에 대해 corresponding prism piece의 geometric realization을

$$
|\Pi_{F,n}|
:=
\Psi_n
\bigl(
|F|\times[0,1]
\bigr)
\subseteq
|W_n|
$$

로 정의한다.

이를 triangular prism PL subpolyhedron이라 한다.

일반적인 CW5 history에서는

$|\Pi_{F,n}|$이 현재 선택된 triangulation의 simplicial subcomplex일 필요는 없다.

그러나 \(\Psi_n\)이 PL homeomorphism이므로

$$
|\Pi_{F,n}|
\cong_{\mathrm{PL}}
|F|\times[0,1].
$$

11절의 boundary-exact condition에 의해

$$
|\Pi_{F,n}|
\cap
|K_n|=|F|
$$

이고

$$
|\Pi_{F,n}|
\cap
|K_{n+1}|=|\iota_n^{\mathcal B}(F)|
$$

또한 두 shell triangles $(F,F')$에 대해 $\Psi_n$의 injectivity로부터

$$
|\Pi_{F,n}|
\cap
|\Pi_{F',n}|
=\Psi_n
\left(
(|F|\cap|F'|)
\times[0,1]
\right)
$$

특히

$$
F\cap F'=e
$$

가 공통 edge이면

$$
|\Pi_{F,n}|
\cap
|\Pi_{F',n}|
\cong_{\mathrm{PL}}
|e|\times[0,1]
$$

따라서 prism pieces의 incidence는 하나의 global product structure $\Psi_n$에 의해 coherent하게 고정된다.

필요하다면 적절한 common subdivision 후 이 PL subpolyhedra를 simplicial subcomplex로 표현할 수 있으나, 본 버전에서는 이를 worldtube 정의에 요구하지 않는다.

13. One-sandwich causal worldtube

11절의 relative-product condition으로부터 직접

$$
|W_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
|\mathcal B_n|\times[0,1]
$$

그리고

$$
|\mathcal B_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

이므로

$$
|W_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[0,1]
$$

따라서 $W_n$은 하나의 Q-CDT sandwich 안에서 정의되는 3-dimensional causal shell worldtube piece이다.

그 spatial intersections는 정확히

$$
W_n\cap K_n=\mathcal B_n,
\qquad
W_n\cap K_{n+1}=\mathcal B_{n+1}
$$

14. Graph worldsheet와 shell worldtube

$K_{2,2,2}$의 $1$-skeleton만 시간방향으로 운반하면

$$
|K_{2,2,2}|\times[0,1]
$$

을 얻는다.

이는 2-dimensional graph worldsheet이다.

반면 본 모듈에서는

$$
\mathcal B_n\cong S^2
$$

인 spatial shell 전체를 운반하므로

$$
S^2\times[0,1]
$$

인 3-dimensional causal worldtube를 얻는다.

따라서

$$
\text{graph worldsheet}
\neq
\text{causal shell worldtube}
$$

또한 $K_{2,2,2}$ graph의 단순 regular-neighborhood thickening을 $\mathcal B_n$과 동일시하지 않는다.

15. Multi-sandwich gluing

기존 Q-CDT sandwich structure에서

$$
S_{n-1}\cap S_n=K_n
$$

또한 11절에 의해

$$
W_{n-1}\cap K_n=
\mathcal B_n
$$

이고

$$
W_n\cap K_n=
\mathcal B_n
$$

그리고

$$
W_{n-1}\subseteq S_{n-1},
\qquad
W_n\subseteq S_n
$$

이므로

$$
W_{n-1}\cap W_n
\subseteq
S_{n-1}\cap S_n=K_n
$$

따라서

$$
W_{n-1}\cap W_n=\mathcal B_n
$$

즉 v-0.5에서는 successive worldtube intersection equality가 boundary-exact relative-product condition과 Q-CDT sandwich intersection에서 유도된다.

추가로 adjacent product structures가 intermediate shell의 동일한 persistent identity identification을 사용하도록 요구한다.

전체 worldtube history를

$$
W=\bigcup_{n=n_0}^{n_1-1}W_n
$$

으로 정의한다.

그러면 모든 intermediate slice에서

$$
W\cap K_n=\mathcal B_n
$$

successive relative-product structures를 canonical shell identification으로 gluing하면

$$
|W|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[n_0,n_1]
$$

따라서 $W$를 Q-CDT causal worldtube라고 한다.

16. T-motif number와의 독립성

본 worldtube condition은 전체 spatial tetrahedron 수의 보존을 요구하지 않는다.

시간층마다

$$
N_T(n)=N_3(K_n)
$$

은 변할 수 있다.

즉

$$
N_T(n+1)\neq N_T(n)
$$

를 허용한다.

보존되는 것은 전체 tetrahedral triangulation이 아니라 persistent six-vertex support와 그 realized shell의 causal history이다.

따라서

$$
N_V=\text{persistent},
\qquad
N_T=\text{dynamical}
$$

17. O-motif와의 독립성

본 모듈에서는

$$
H_n\cong K_{2,2,2}
$$

라는 사실만으로 (H_n)을 O-motif라고 부르지 않는다.

또한

$$
\mathcal B_n\cong\partial\mathrm{Oct}
$$

라는 사실만으로 O-sector를 도입하지 않는다.

따라서

$$
\mathcal M_O^{\mathrm{int}}=\varnothing
$$

를 유지하면서 causal worldtube를 정의할 수 있다.

즉

$$
\text{Q-CDT causal worldtube}
\not\Rightarrow
O\text{-motif}
$$

추후 별도의 Qaether O-admissibility 조건을 만족하는 경우에만 해당 worldtube에 O-like 또는 O-motif interpretation을 부여할 수 있다.

18. Relabelling invariance

persistent physical vertex의 이름표 자체는 물리량이 아니다.

두 configurations 사이에 time-preserving simplicial isomorphism

$$
\varphi:K\to K'
$$

과 global persistent-identity relabelling

$$
\pi:\mathcal V_Q\to\mathcal V_Q'
$$

가 존재하여

$$
\tau'\circ\varphi=\tau
$$

및

$$
\lambda'\circ\varphi
= \pi\circ\lambda
$$

를 만족하면 동일한 relabelling class로 본다.

worldtube support 역시

$$
X\mapsto\pi(X)
$$

로 함께 운반한다.

따라서

$$
H_n\cong K_{2,2,2},
$$

$$
\mathcal B_n\cong S^2,
$$

$$
W_n\cong S^2\times I
$$

이라는 성질은 persistent relabelling에 대해 불변이다.

본 모듈에서는

$$
q_v,
\qquad
h_{vw},
\qquad
\text{independent internal link field}
$$

를 도입하지 않는다.

따라서 vertex persistence 또는 worldtube persistence를 표현하기 위해 별도의 timelike (SU(2)) 또는 (U(1)) gauge-link variable을 추가하지 않는다.

19. 최소 admissibility 조건

Q-CDT causal-worldtube history는 다음 조건을 만족하는 history로 정의한다.

CW5-A1. Persistent vertex identity

$$
\lambda_n:
V_n\xrightarrow{\sim}\mathcal V_Q.
$$

CW5-A2. Persistent six-vertex support

$$
X\subset\mathcal V_Q,
\qquad
|X|=6
$$

가 주어진 시간구간 전체에서 동일하다.

CW5-A3. Causal identity realization

$$
{v,\iota_n(v)}
\in E_t(S_n)
$$

가 모든

$$
v\in X_n
$$

에 대해 성립한다.

CW5-A4. Persistent $K_{2,2,2}$ pattern

$$
H_n
= G_n[X_n]
\cong
K_{2,2,2}
$$

이고 fixed opposite-pair matching \(P_X\)가 identity transport 아래 유지된다.

CW5-A5. Auxiliary octahedral shell

$$
\widehat{\mathcal B}_n
= \operatorname{Cl}_2(H_n)
\cong
\partial\mathrm{Oct}
$$

CW5-A6. Shell realization

$$
\widehat{\mathcal B}_n
\hookrightarrow
K_n
$$

인 incidence-preserving simplicial embedding이 존재한다.

CW5-A7. Internal-shell status

$$
\mathcal B_n\subset K_n,
\qquad
\partial K_n=\varnothing.
$$

따라서

$$
\mathcal B_n
\not\subseteq
\partial K_n.
$$

CW5-A8. Boundary-exact coherent causal relative product

3-dimensional simplicial subcomplex

$$
W_n\subseteq S_n
$$

과 PL homeomorphism of triples

$$
\Psi_n:
\Bigl(
|\mathcal B_n|\times I;
|\mathcal B_n|\times{0},
|\mathcal B_n|\times{1}
\Bigr)
\xrightarrow{\cong_{\mathrm{PL}}}
\Bigl(
|W_n|;
|W_n|\cap|K_n|,
|W_n|\cap|K_{n+1}|
\Bigr)
$$

이 존재하며

$$
\Psi_n(x,0)=x,
$$

$$
\Psi_n(x,1)
= |\iota_n^{\mathcal B}|(x),
$$

그리고 모든 shell vertex \(v\)에 대해

$$
\Psi_n({v}\times I)
= |{v,\iota_n(v)}|
$$

따라서

$$
W_n\cap K_n=\mathcal B_n,
\qquad
W_n\cap K_{n+1}=\mathcal B_{n+1}.
$$

CW5-A9. Successive identity coherence

인접한 worldtube product structures는 intermediate shell \(\mathcal B_n\)에서 동일한 persistent-vertex identification을 사용한다.

Q-CDT sandwich intersection과 CW5-A8에 의해

$$
W_{n-1}\cap W_n
= \mathcal B_n
$$

은 자동으로 따른다.

20. Causal Worldtube Proposition

명제 20.1

CW5-A1–CW5-A9를 만족하는 history가 있다고 하자.

그러면 모든 시간층 \(n\in I_N\)에

$$
|\mathcal B_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

인 realized octahedral shell이 존재한다.

또한 각 sandwich에

$$
W_n\subseteq S_n
$$

인 3-dimensional simplicial subcomplex가 존재하여

$$
|W_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[0,1]
$$

그리고 전체 union

$$
W
= \bigcup_{n=n_0}^{n_1-1}W_n
$$

에 대해

$$
|W| \cong_{\mathrm{PL}} S^2\times[n_0,n_1]
$$

증명

CW5-A4에 의해

$$
H_n\cong K_{2,2,2}.
$$

따라서

$$
\widehat{\mathcal B}_n
= \operatorname{Cl}_2(H_n)
\cong
\partial\mathrm{Oct},
$$

그러므로

$$
|\widehat{\mathcal B}_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

CW5-A6에 의해 이 abstract shell은 실제 spatial subcomplex

$$
\mathcal B_n\subseteq K_n
$$

으로 realization된다.

CW5-A8은 직접

$$
|W_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
|\mathcal B_n|\times[0,1]
$$

을 주므로

$$
|W_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[0,1]
$$

또한 CW5-A8에 의해

$$
W_n\cap K_n=\mathcal B_n,
\qquad
W_n\cap K_{n+1}=\mathcal B_{n+1}
$$

Q-CDT sandwich structure에서

$$
S_{n-1}\cap S_n=K_n
$$

이고

$$
W_{n-1}\subset S_{n-1},
\qquad
W_n\subset S_n
$$

이므로

$$
W_{n-1}\cap W_n
= \mathcal B_n
$$

마지막으로 CW5-A9에 의해 successive relative-product structures가 intermediate shells에서 동일한 persistent identity identification을 사용하므로 이 product cobordisms를 순차적으로 gluing할 수 있다.

따라서

$$
|W|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[n_0,n_1].
\square$$

21. 비공허성 정리

정리 21.1 — Joint consistency

CW5-A1–CW5-A9를 동시에 만족하는 configuration은 적어도 하나 존재한다.

특히

$$
\Sigma=S^3
$$

인 경우 causal-worldtube configuration class는 공집합이 아니다.

증명

octahedron boundary simplicial complex를

$$
\mathcal B
\cong
\partial\mathrm{Oct}
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

라 하자.

\(\mathcal B\)에 속하지 않는 두 새로운 vertex

$$
p_+,
\qquad
p_-
$$

를 도입한다.

다음 simplicial \(3\)-complex를 정의한다.

$$
K_\star
= (p_+^\mathcal B)
\cup_{\mathcal B}
(p_-^\mathcal B)
$$

이는 \(\mathcal B\)의 simplicial suspension이다.

따라서

$$
|K_\star|
\cong_{\mathrm{PL}}
\Sigma S^2
\cong
S^3
$$

\(\mathcal B\)의 여섯 vertex가 생성하는 induced graph는

$$
K_{2,2,2}
$$

또한 \(\mathcal B\)의 각 triangular face \(F\)는 정확히 두 tetrahedra

$$
p_+^F,
\qquad
p_-^F
$$

에 incident한다.

따라서 \(K_\star\)는 closed combinatorial \(3\)-manifold이고 \(\mathcal B\)는 그 내부에 embedded된 simplicial \(S^2\)-shell이다.

모든 시간층에 \(K_\star\)의 copy

$$
K_{\star,n}
$$

를 사용하고 각 spatial vertex에 동일한 persistent identity를 부여한다.

따라서

$$
\lambda_n:
V(K_{\star,n})
\xrightarrow{\sim}
\mathcal V_Q
$$

를 정의할 수 있다.

\(K_\star^{(0)}\)에 하나의 global vertex ordering을 고정한다.

각 ordered tetrahedron

$$
[v_0,v_1,v_2,v_3],
\qquad
v_0<v_1<v_2<v_3
$$

의 prism을 standard staircase triangulation

$$
[v_0^0,v_1^0,v_2^0,v_3^0,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_1^0,v_2^0,v_2^1,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_1^0,v_1^1,v_2^1,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_0^1,v_1^1,v_2^1,v_3^1]
$$

으로 분해한다.

이들은 각각

$$
(4,1),
\qquad
(3,2),
\qquad
(2,3),
\qquad
(1,4)
$$

type이다.

global ordering을 사용하므로 인접 tetrahedral prisms의 공통 face에서 triangulation이 일치한다.

따라서

$$
S_\star
\cong_{\mathrm{PL}}
K_\star\times[0,1]
$$

인 허용 Q-CDT sandwich가 얻어진다.

모든 persistent vertex \(v\)에 대해 vertical edge

$$
{v^0,v^1}
$$

가 존재하므로 causal identity realization을 만족한다.

같은 product triangulation을

$$
\mathcal B\times[0,1]
$$

에 제한하면

$$
W_\star
\subseteq
S_\star
$$

인 3-dimensional simplicial subcomplex가 얻어진다.

그리고

$$
|W_\star|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[0,1]
$$

product construction 자체로

$$
W_\star\cap K_{\star,0}
= \mathcal B_0,
\qquad
W_\star\cap K_{\star,1}
= \mathcal B_1
$$

이며 worldtube interior는 두 spatial boundary slices와 추가로 만나지 않는다.

따라서 CW5-A8의 boundary-exact relative-product condition을 만족한다.

동일 construction을 반복하여 gluing하면 CW5-A9도 만족한다.

따라서

$$
\mathfrak C_{\mathrm{CW5}}\neq\varnothing
$$

$$
\square
$$

주의

정리 21.1은 CW5 조건들의 joint consistency를 증명한다.

본 버전에서는 임의의 closed \(3\)-manifold \(\Sigma\)에 대해 이러한 worldtube-admissible configuration이 항상 존재한다고 주장하지 않는다.

22. 정리의 성격

Causal Worldtube Proposition은

$$
\boxed{
\text{CW5-admissible history}
\Longrightarrow
S^2\times I\text{ causal worldtube}
}
$$

를 주장한다.

그러나

$$
\boxed{
\text{모든 persistent-vertex Q-CDT history가
CW5-admissible하다}
}
$$

고 주장하지 않는다.

특히

$$
\text{vertex persistence}
\not\Rightarrow
K_{2,2,2}\text{ persistence},
$$

$$
K_{2,2,2}\text{ persistence}
\not\Rightarrow
\text{shell realization},
$$

그리고

$$
\text{shell persistence}
\not\Rightarrow
\text{boundary-exact coherent causal relative product}.
$$

따라서 본 버전의 worldtube preservation은

$$
\text{restricted causal-history class에서의 구조적 보존 명제}
$$

이다.

다만 정리 21.1에 의해 그 history class는 명시적 realization을 가지므로 vacuous하지 않다.