[v2.5] Curvature Part: Boundary-Motif Reference-Residual Curvature and Hybrid Relaxation Layer

Boundary-Motif Reference-Residual Curvature and Hybrid Relaxation Layer

0. 지위

Qaether v2.5-curvature은 공식 Qaether v2.5 static boundary-graph foundation 위에 추가되는 boundary-motif reference-residual action and hybrid relaxation layer 이다.

v2.5-curvature은 v2.5의 primitive ontology를 변경하지 않는다.

공식 core의 independent primitive mathematical data는 그대로

$$
\mathcal D_{\mathrm{prim}}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
$$

이다.

full displayed core configuration은

$$
\mathcal Q_{2.5}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
$$

이며 $ \operatorname{Or}(\mathcal C_\square),  \pi_\square$는 여전히 \(\mathcal C_\square\)에 의해 canonical하게 결정되는 derived components이다.

v2.5-curvature은 이를 independent degrees of freedom로 승격시키지 않는다.

존재론 역시 그대로이다.

$$
\text{Qaether}=\text{vertex}
$$

$$
\text{primitive bond}=\text{edge}
$$

$$
C_\triangle,C_\square\neq\text{filled faces}
$$

$$
T,O\neq\text{filled 3-cells}
$$

따라서 v2.5-curvature에서 'curvature'라는 용어는 continuum GR curvature, Regge deficit curvature, 또는 independent \(SU(2)\) connection curvature를 뜻하지 않는다.

정확한 의미는

$$
\text{Euclidean }T/O\text{ reference-incidence residual}
$$

이다.

1. Logical firewall

v2.5-curvature에서는 다음 네 층을 엄격하게 구분한다.

$$
\text{v2.5 primitive core data}
$$

$$
\text{v2.5 core-derived propositions}
$$

$$
\text{v2.5-curvature selected action/dynamical data}
$$

$$
\text{v2.5-curvature derived observables and evolution rules}
$$

특히 $\mathcal M_T,\mathcal M_O$는 여전히 v2.5 primitive selected motif families이다.

이들은 단순히 \((V,E,\rho)\)에서 자동 검출되는 모든 regular \(T/O\) pattern의 집합과 동일하다고 가정하지 않는다.

따라서

$$
\text{primitive motif}
\neq
\text{arbitrary detected geometric motif pattern}
$$

이 구분은 v2.5-curvature 전체에서 유지된다.

2. Admissible Qaether state space

v2.5의 모든 core axiom과 definition을 만족하는 configuration들의 집합을

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

이라 한다.

즉

$$
\mathcal Q\in\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

이라는 것은 적어도 다음을 모두 만족한다는 뜻이다.

• simple graph condition,
• injective auxiliary realization,
• contact/exclusion condition,
• primitive triangular-cycle conditions,
• primitive square-cycle conditions,
• \(T/O\) primitive motif definitions,
• square \(O\)-sector condition,
• bond-support conditions,
• free-standing triangle permission,
• motif overlap/non-interpenetration condition,
• canonical construction of \(\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)\) and \(\pi_\square\),
• vertex-induced flat \(SU(2)\) relative-phase structure

v2.5-curvature의 physical hard states는 항상

$$
\mathcal Q\in\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

에 속한다.

3. Primitive motif incidence counts

v2.5 core에서 각 primitive edge

$$
e\in E
$$

에 대하여 이미 정의된 motif-incidence multiplicities를 그대로 사용한다.

$$
N_T(e)
=
\#\{T\in\mathcal M_T:e\in E(T)\}
$$

$$
N_O(e)
=
\#\{O\in\mathcal M_O:e\in E(O)\}
$$

이들은 nonnegative integer이다.

$$
N_T(e),N_O(e)\in\mathbb Z_{\ge0}
$$

v2.5의 local finiteness와 finite graph degree에 의해 각 edge 주위의 가능한 primitive motif incidence는 유한하므로

$$
N_T(e)<\infty,
\qquad
N_O(e)<\infty
$$

v2.5-curvature의 기본 hard curvature residual은 이 core-defined counts 위에 정의된다.

4. Evaluation support

v2.5-curvature은 모든 possible vertex pair에 curvature residual을 자동으로 부여하지 않는다.

c-layer의 selected evaluation support를

$$
\Lambda_2^c\subseteq\binom V2
$$

로 둔다.

이는 c-layer의 selected indexing data이다.

$$
\Lambda_2^c
\text{ is not a primitive bond family}
$$

현재 configuration \(\mathcal Q\)에서 실제 curvature evaluation을 받는 realized edge support는

$$
\Lambda_E^c(\mathcal Q)
=
\Lambda_2^c\cap E
$$

따라서

$$
e\in\Lambda_E^c
\Longrightarrow
e\in E
$$

이고, reference dihedral residual은 오직 실제 primitive edge 위에 정의된다.

이것은 \(2T+2O\) reference theorem 자체가 edge-around-incidence theorem이라는 사실을 보존한다.

5. Potential pair-slot의 지위

$$
p\in\Lambda_2^c\setminus E
$$

인 경우 \(p\)는 선택된 evaluation/potential slot일 수 있지만 primitive bond가 아니다.

따라서 non-edge pair에

$$
2\pi
$$

를 직접 ``curvature residual''이라고 부르지 않는다.

대신 필요한 경우 별도의 vacancy observable을 둔다.

$$
\chi_E(p)
=
\begin{cases}
1,&p\in E,\\
0,&p\notin E
\end{cases}
$$

potential-slot penalty는

$$
S_{\mathrm{slot}}
=
\lambda_{\mathrm{slot}}
\sum_{p\in\Lambda_2^c}
(1-\chi_E(p))
$$

로 정의한다.

여기서

$$
\lambda_{\mathrm{slot}}\ge0
$$

이 항은 선택적이다.

$$
\lambda_{\mathrm{slot}}=0
$$

이면 non-edge pair-slot은 action에 아무 contribution도 하지 않는다.

기존의 ``non-edge slot \(=2\pi\)-defect'' convention을 수치적으로 재현하고 싶다면

$$
\lambda_{\mathrm{slot}}
=
\lambda_{TO}(2\pi)^2
$$

를 선택할 수 있다.

그러나 그 경우에도 의미론적으로는

$$
\text{vacant selected-slot penalty}
$$

이지 Euclidean edge-dihedral curvature가 아니다.

6. Euclidean T/O reference angles

v2.5 Part III의 external Euclidean reference complex에서 regular tetrahedron과 regular octahedron의 relevant dihedral angles를

$$
\alpha_T
=
\arccos\left(\frac13\right)
$$

$$
\alpha_O
=
\arccos\left(-\frac13\right)
$$

로 둔다.

따라서

$$
\alpha_O=\pi-\alpha_T
$$

이는 Qaether ontology에 filled tetrahedron이나 filled octahedron을 도입하는 것이 아니다.

$$
\alpha_T,\alpha_O
=
\text{external Euclidean reference data}
$$

7. Irrationality lemma

$$
\frac{\alpha_T}{\pi}\notin\mathbb Q
$$

Proof

반대로

$$
\frac{\alpha_T}{\pi}\in\mathbb Q
$$

라고 하자.

그러면

$$
e^{i\alpha_T}
$$

는 root of unity이고 따라서

$$
2\cos\alpha_T
=
e^{i\alpha_T}+e^{-i\alpha_T}
$$

는 algebraic integer이다.

하지만

$$
\cos\alpha_T=\frac13
$$

이므로

$$
2\cos\alpha_T=\frac23
$$

유리수 algebraic integer는 정수여야 하나

$$
\frac23\notin\mathbb Z
$$

모순이다.

따라서

$$
\alpha_T/\pi\notin\mathbb Q
$$

8. T-only closure obstruction

임의의

$$
m\in\mathbb Z_{\ge1}
$$

에 대해

$$
m\alpha_T\neq2\pi
$$

실제로

$$
m\alpha_T=2\pi
$$

라면

$$
\frac{\alpha_T}{\pi}
=
\frac2m
\in\mathbb Q
$$

가 되어 irrationality lemma와 모순된다.

따라서 finite integer \(T\)-incidence만으로 exact Euclidean \(2\pi\) closure를 만들 수 없다.

9. Mixed T/O reference closure

$$
\alpha_O=\pi-\alpha_T
$$

이므로

$$
2\alpha_T+2\alpha_O
=
2\pi
$$

따라서 external Euclidean reference model에서 ideal mixed edge incidence는

$$
2T+2O.
$$

이것은 Qaether primitive ontology의 전역 공리가 아니다.

정확한 지위는

$$
\text{selected Euclidean edge-reference criterion}
$$

10. Hard signed residual

각 evaluated primitive edge

$$
e\in\Lambda_E^c(\mathcal Q)
$$

에 대해 signed \(T/O\) reference residual을

$$
\Omega_e^{TO}
=
2\pi-
\left(
N_T(e)\alpha_T+
N_O(e)\alpha_O
\right)
$$

로 정의한다.

그 magnitude는

$$
D_e^{TO}=|\Omega_e^{TO}|
$$

T-only baseline residual은

$$
\Omega_e^T
=
2\pi-N_T(e)\alpha_T
$$

이고

$$
D_e^T=|\Omega_e^T|
$$

11. Hard zero-residual theorem

모든

$$
e\in E
$$

에 대해

$$
\Omega_e^{TO}=0
\iff
\left(
N_T(e),N_O(e)
\right)
=
(2,2)
$$

Proof

$$
\Omega_e^{TO}=0
$$

이면

$$
N_T(e)\alpha_T + N_O(e)\alpha_O = 2\pi
$$

$$
\alpha_O=\pi-\alpha_T
$$

를 사용하면

$$
\left(N_T(e)-N_O(e)\right)\alpha_T=
\left(2-N_O(e)\right)\pi
$$

따라서

$$
\left(
N_T(e)-N_O(e)
\right)
\frac{\alpha_T}{\pi}
=
2-N_O(e)
$$

양변의 integer coefficients와

$$
\alpha_T/\pi\notin\mathbb Q
$$

를 고려하면 가능한 경우는

$$
N_T(e)-N_O(e)=0
$$

및

$$
2-N_O(e)=0
$$

뿐이다.

따라서

$$
N_T(e)=N_O(e)=2.
$$

역방향은

$$
2\alpha_T+2\alpha_O=2\pi
$$

에서 즉시 성립한다.

그러므로

$$
\Omega_e^{TO}=0
\iff
(N_T(e),N_O(e))=(2,2)
$$

12. O-sector baseline relief observable

\(O\)-sector incidence가 T-only reference residual과 비교하여 residual magnitude를 얼마나 변화시키는지를

$$
B_e^O
=
D_e^T-D_e^{TO}
$$

로 정의한다.

$$
B_e^O>0
$$

이면 mixed \(T/O\) residual이 T-only residual보다 작다.

$$
B_e^O<0
$$

이면 mixed residual이 더 크다.

그러나

$$
B_e^O
\text{ is not a force and not an attraction law.}
$$

이는 reference-residual relief observable일 뿐이다.

13. Coverage observable

evaluated primitive edge에 대해

$$
\chi_{TO}(e)
=
\begin{cases}
1,
&
N_T(e)+N_O(e)>0,
\\
0,
&
N_T(e)+N_O(e)=0
\end{cases}
$$

로 둔다.

선택적인 coverage penalty는

$$
S_{\mathrm{cov}}
=
\lambda_{\mathrm{cov}}
\sum_{e\in\Lambda_E^c}
\left(
1-\chi_{TO}(e)
\right)
$$

이다.

$$
\lambda_{\mathrm{cov}}\ge0
$$

이는 zero-incidence edge에 대한 추가 penalty이지 \(2T+2O\) theorem의 일부가 아니다.

14. Global hard reference action

합이 유한하거나 수렴하는 경우

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q]
=
\lambda_{TO}
\sum_{e\in\Lambda_E^c(\mathcal Q)}
\left(
\Omega_e^{TO}
\right)^2
$$

로 정의한다.

여기서

$$
\lambda_{TO}>0
$$

기본 hard c-action은

$$
S_c^{\mathrm{hard}}
=
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}} + S_{\mathrm{cov}} + S_{\mathrm{slot}} + S_{\mathrm{ord}}
$$

형태를 가진다.

\(S_{\mathrm{ord}}\)는 선택적 ordering sector이며 뒤에서 정의한다.

각 선택적 항을 사용하지 않으면 해당 coupling을 \(0\)으로 둔다.

15. Hard zero-action condition

ordering과 slot penalty를 제외한

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}} + S_{\mathrm{cov}}
$$

에 대해

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}} + S_{\mathrm{cov}} =0
$$

이면 모든 evaluated edge에 대해

$$
N_T(e)=N_O(e)=2
$$

반대로 모든 evaluated edge가 \(2T+2O\)이면 두 항은 모두 \(0\)이다.

따라서

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}} + S_{\mathrm{cov}}
=0
\iff
\forall e\in\Lambda_E^c,
\quad
(N_T(e),N_O(e))=(2,2)
$$

단, evaluation edge set이 empty이면 이 명제는 vacuous하다.

16. Optional cyclic-order sector

angle residual은 \(TOTO\)와 \(TTOO\)를 구별하지 않는다.

두 경우 모두

$$
N_T(e)=N_O(e)=2
$$

이면

$$
\Omega_e^{TO}=0
$$

따라서 ordering cost는 Euclidean closure residual과 독립된 선택적 sector로 둔다.

cyclic order가 정의되어 있는 edge들의 subset을

$$
E_{\mathrm{ord}}\subseteq E
$$

라 하고

$$
\operatorname{cyc}_e
$$

를 그 edge 주변의 primitive \(T/O\)-motif cyclic word라 하자.

cyclic order는 auxiliary geometric arrangement에서 유일하게 결정될 수 있거나, 별도의 c-layer structural input으로 지정될 수 있다.

이는 edge에 path degree of freedom를 부여하는 것이 아니다.

\(2T+2O\) edge에 대해

$$
D_e^{\mathrm{ord}}
=
\begin{cases}
0,
&
\operatorname{cyc}_e=\mathrm{TOTO},
\\[4pt]
\mu_{\mathrm{TTOO}},
&
\operatorname{cyc}_e=\mathrm{TTOO},
\\[4pt]
\mu_{\mathrm{bad}},
&
\text{otherwise}
\end{cases}
$$

로 둘 수 있다.

여기서

$$
0<
\mu_{\mathrm{TTOO}}
<
\mu_{\mathrm{bad}}
$$

ordering action은

$$
S_{\mathrm{ord}}
=
\lambda_{\mathrm{ord}}
\sum_{e\in
E_{\mathrm{ord}}\cap\Lambda_E^c}
D_e^{\mathrm{ord}}
$$

이다.

$$
\lambda_{\mathrm{ord}}\ge0
$$

중요하게도

$$
TTOO
\text{ is not a Euclidean closure defect.}
$$

따라서

$$
\mu_{\mathrm{TTOO}}>0
$$

는 오직

$$
\text{model-selected preference for alternating TOTO order}
$$

를 의미한다.

17. Exact detected diagnostic motifs

primitive motif와 별도로 exact geometric pattern detector를 정의할 수 있다.

이는 **diagnostic derived family**이며 primitive ontology가 아니다.

17.1 Detected T-pattern

$$
A\subset V,
\qquad |A|=4
$$

가 다음을 만족하면 exact detected T-pattern이라 한다.

$$
G_Q[A]\cong K_4
$$

및

$$
\dim\operatorname{aff}\rho(A)=3
$$

core contact axiom 때문에 모든 six pair distance는 자동으로

$$
\ell_Q
$$

이다.

따라서 \(A\)는 regular tetrahedral boundary pattern을 이룬다.

이들의 family를

$$
\widehat{\mathcal M}_T
$$

라 한다.

17.2 Detected O-pattern

$$
B\subset V,
\qquad |B|=6
$$

에 대해

$$
G_Q[B]\cong K_{2,2,2}
$$

이고 complement graph가 주는 unique perfect matching

$$
P_B
$$

에 대해 labeling

$$
P_B
=
\{
\{x_1^+,x_1^-\},
\{x_2^+,x_2^-\},
\{x_3^+,x_3^-\}
\}
$$

을 잡을 수 있으며,

어떤

$$
c\in\mathbb R^3
$$

와 orthonormal frame

$$
(u_1,u_2,u_3)
$$

가 존재하여

$$
\rho(x_i^\pm)
=
c\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt2}u_i
$$

이면 exact detected O-pattern이라 한다.

그 family를

$$
\widehat{\mathcal M}_O
$$

라 한다.

18. Primitive-versus-detected theorem

모든 primitive \(T/O\) motif는 해당 exact pattern detector의 조건을 만족한다.

따라서

$$
\mathcal M_T
\subseteq
\widehat{\mathcal M}_T
$$

$$
\mathcal M_O
\subseteq
\widehat{\mathcal M}_O
$$

그러나 역은 일반적으로 자동으로 성립하지 않는다.

$$
\widehat{\mathcal M}_T
\not\subseteq
\mathcal M_T
$$

또는

$$
\widehat{\mathcal M}_O
\not\subseteq
\mathcal M_O
$$

일 수 있다.

그 이유는 v2.5에서 primitive motif family 자체가 selected primitive data이기 때문이다.

따라서

$$
\mathcal M_T=\widehat{\mathcal M}_T,
\qquad
\mathcal M_O=\widehat{\mathcal M}_O
$$

를 요구하는 것은

$$
\text{motif-selection completeness model choice}
$$

이지 v2.5에서 자동 유도되는 theorem이 아니다.

v2.5-curvature의 기본 hard action은

$$
\mathcal M_T,\mathcal M_O
$$

의 primitive incidence를 사용한다.

\(\widehat{\mathcal M}_{T/O}\)는 diagnostic 또는 proposal-generation 용도로만 사용한다.

19. Detected boundary supports의 지위

detected \(T/O\) pattern에서 regular tetrahedral 또는 octahedral combinatorics에 따라 triangular/square cycle supports를 derived하게 작성할 수 있다.

그러나 $\widehat C_\triangle$가 존재한다고 해서 자동으로

$$
\widehat C_\triangle\in\mathcal C_\triangle
$$

인 것은 아니다.

마찬가지로 $\widehat C_\square$가 regular square support라고 해서 자동으로

$$
\widehat C_\square\in\mathcal C_\square
$$

인 것은 아니다.

따라서

$$
\text{derived cycle support}
\neq
\text{selected primitive boundary cycle}
$$

이 구분은 primitive/detected motif 구분과 동일한 firewall을 따른다.

20. Local hard action

compact region

$$
\Lambda\Subset\mathbb R^3
$$

를 잡는다.

buffer radius \(r_{\mathrm{buf}}\)에 대해

$$
\Lambda^+
=
\{
x\in\mathbb R^3:
\operatorname{dist}(x,\Lambda)
\le r_{\mathrm{buf}}
\}
$$

로 둔다.

v2.5의 geometric local finiteness에 의해

$$
V^\Lambda
=
\{v\in V:\rho(v)\in\Lambda^+\}
$$

는 finite이다.

$$
|V^\Lambda|<\infty
$$

21. Exact T/O buffer bound

primitive \(T\)-motif에서 모든 motif vertex 사이의 거리는 $\ell_Q$이다.

primitive \(O\)-motif에서 가능한 최대 vertex distance는 opposite-pair distance $\sqrt2\,\ell_Q$이다.

따라서 evaluated edge

$$
e=\{v,w\}
$$

의 한 endpoint가 \(\Lambda\)에 있고 \(e\)를 포함하는 primitive \(T/O\) motif가 존재하면, 그 motif의 모든 vertex는 그 endpoint로부터 거리 $\le\sqrt2\,\ell_Q$에 있다.

그러므로 exact hard local counting을 위해 충분한 기본 buffer 조건은

$$
r_{\mathrm{buf}}
\ge
\sqrt2\,\ell_Q
$$

이다.

이 조건 아래에서는 \(\Lambda\)에 endpoint를 가지는 edge 주변의 모든 incident primitive \(T/O\) motif를 \(\Lambda^+\) 안에서 완전히 회수할 수 있다.

22. Local evaluation domains

local selected pair support를

$$
\Lambda_{2,+}^c(\Lambda)
=
\left\{
\{v,w\}\in\Lambda_2^c:
v,w\in V^\Lambda,
\;
\rho(v)\in\Lambda
\text{ or }
\rho(w)\in\Lambda
\right\}
$$

로 둔다.

realized local evaluation edges는

$$
\Lambda_{E,+}^c(\Lambda)
=
\Lambda_{2,+}^c(\Lambda)\cap E
$$

\(V^\Lambda\)가 finite이므로

$$
|\Lambda_{2,+}^c(\Lambda)|<\infty
\qquad \text{및} \qquad
|\Lambda_{E,+}^c(\Lambda)|<\infty
$$

23. Local hard c-action

local reference action은

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\Lambda,\mathrm{hard}}
=
\lambda_{TO}
\sum_{e\in\Lambda_{E,+}^c(\Lambda)}
(\Omega_e^{TO})^2
$$

local coverage penalty는

$$
S_{\mathrm{cov}}^\Lambda
=
\lambda_{\mathrm{cov}}
\sum_{e\in\Lambda_{E,+}^c(\Lambda)}
(1-\chi_{TO}(e))
$$

local slot penalty는

$$
S_{\mathrm{slot}}^\Lambda
=
\lambda_{\mathrm{slot}}
\sum_{p\in\Lambda_{2,+}^c(\Lambda)}
(1-\chi_E(p))
$$

ordering sector를 사용하는 경우

$$
S_{\mathrm{ord}}^\Lambda
=
\lambda_{\mathrm{ord}}
\sum_{
e\in
E_{\mathrm{ord}}
\cap
\Lambda_{E,+}^c(\Lambda)
}
D_e^{\mathrm{ord}}
$$

따라서

$$
S_c^{\Lambda,\mathrm{hard}}
=
S_{\mathrm{ref}}^{\Lambda,\mathrm{hard}} + S_{\mathrm{cov}}^\Lambda + S_{\mathrm{slot}}^\Lambda + S_{\mathrm{ord}}^\Lambda
$$

이는 항상 finite이다.

24. Infinite bulk and action density

무한 configuration에서 global sum이 발산할 수 있으므로 total action을 자동으로 가정하지 않는다.

compact exhaustion

$$
\Lambda_R\nearrow\mathbb R^3
$$

를 택한다.

경계 효과를 억제하기 위해 van Hove type condition

$$
\frac{
|\partial_{r_{\mathrm{buf}}}\Lambda_R|
}{
|\Lambda_R|
}
\to0
$$

을 요구할 수 있다.

selected local pair count가 eventually nonzero이고 limit가 존재할 때

$$
s_c
=
\lim_{R\to\infty}
\frac{
S_c^{\Lambda_R,\mathrm{hard}}
}{
|\Lambda_{2,+}^c(\Lambda_R)|
}
$$

를 per-selected-slot action density라 한다.

이는 total action이 아니다.

$$
s_c
=
\text{action-density observable}.
$$

limit의 존재는 별도의 theorem 또는 model condition이며 자동으로 가정하지 않는다.

25. Hard admissible dynamics

hard physical dynamics는 오직

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

안에서 움직인다.

따라서 hard proposal은

$$
m^{\mathrm{prop}}:
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
\longrightarrow
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

이어야 한다.

보다 일반적으로 proposal kernel은

$$
q_{\mathrm{prop}}
(
\mathcal Q,d\mathcal Q'
)
$$

이며 support가

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

안에 있어야 한다.

invalid v2.5 core configuration은 physical hard proposal로 인정하지 않는다.

26. Core-preserving and core-reselection proposals

hard proposals는 두 종류로 구현할 수 있다.

26.1 Core-preserving constrained proposal

$$
E,\mathcal C_\triangle,\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,\mathcal M_O
$$

등의 primitive incidence를 고정한 채 \(\rho\) 또는 \(q\)를 변경할 수 있다.

단 결과는 반드시 모든 exact v2.5 axioms를 다시 만족해야 한다.

특히

$$
e=\{v,w\}\in E
\Longrightarrow
|\rho'(v)-\rho'(w)|=\ell_Q
$$

$$
v\neq w
\Longrightarrow
|\rho'(v)-\rho'(w)|\ge\ell_Q
$$

뿐 아니라 primitive cycle geometry, primitive motif geometry, square \(O\)-sector, bond support, motif non-interpenetration도 모두 유지되어야 한다.

26.2 Core-reselection proposal

다음 primitive data를 함께 변경할 수 있다.

$$
(E,\rho,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O).
$$

그러나 update 후에는 결과 전체가 다시

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

에 속해야 한다.

그리고 새로운

$$
\mathcal C_\square'
$$

가 선택되면

$$
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square')
$$

와

$$
\pi_\square'
$$

는 독립적으로 선택하지 않고 반드시 canonical rule에 따라 다시 계산한다.

즉

$$
\operatorname{Or},\pi_\square
\text{ are recomputed, not dynamically free.}
$$

27. Deterministic hard relaxation

hard c-action difference를

$$
\Delta S_c
=
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q']
-
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q]
$$

로 둔다.

strict deterministic relaxation은

$$
\Delta S_c<0
\Longrightarrow
\text{accept}
$$

$$
\Delta S_c\ge0
\Longrightarrow
\text{reject}
$$

로 정의한다.

따라서 accepted physical hard transition마다

$$
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q_{n+1}]
<
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q_n].
$$

28. Stochastic hard relaxation

proposal kernel

$$
q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q,d\mathcal Q')
$$

에 대해 target weight를 형식적으로

$$
\exp[-\beta S_c^{\mathrm{hard}}(\mathcal Q)]
$$

로 둔다.

공통 reference measure에 대한 proposal density

$$
q(\mathcal Q'|\mathcal Q)
$$

가 존재하고 forward/backward density가 양수인 경우 Metropolis-Hastings acceptance는

$$
A(\mathcal Q,\mathcal Q')
= \min \left\{ 1, e^{-\beta [ S_c(\mathcal Q')-S_c(\mathcal Q) ]} \frac{ q(\mathcal Q|\mathcal Q') }{ q(\mathcal Q'|\mathcal Q)} \right\}
$$

여기서

$$
\beta>0
$$

symmetric proposal이면

$$
q(\mathcal Q|\mathcal Q') = q(\mathcal Q'|\mathcal Q)
$$

이므로

$$
A = \min \{ 1,e^{-\beta\Delta S_c} \}
$$

일반 transition kernel은

$$
P(\mathcal Q,dY) = A(\mathcal Q,Y) q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q,dY) + \delta_\mathcal Q(dY)
\left[ 1-\int A(\mathcal Q,Z) q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q,dZ) \right]
$$

finite-temperature stochastic evolution은 strict monotone이 아니다.

$$
\beta\to\infty
$$

극한에서도 standard Metropolis rule은

$$
\Delta S_c=0
$$

transition을 허용할 수 있다.

strict lowering이 필요하면 §27의 deterministic rule을 사용한다.

29. Soft sector의 논리적 지위

soft relaxation trajectory는 일반적으로 exact contact/exclusion 및 motif geometry를 순간적으로 위반할 수 있다.

따라서 soft trajectory를

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

안의 physical Qaether trajectory라고 부르지 않는다.

별도의 auxiliary off-shell configuration space를

$$
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
$$

로 둔다.

그 관계는

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
\hookrightarrow
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
$$

즉 exact admissible Qaether state는 soft ambient space에 embed될 수 있지만

$$
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
\not\subseteq
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

soft epoch 중의 off-shell point는 Qaether physical state가 아니라 auxiliary relaxation state이다.

30. Frozen primitive labels in a soft epoch

soft epoch는 하나의 admissible hard state

$$
\mathcal Q_n^+\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

에서 시작한다.

epoch 시작 시 다음 combinatorial data를 freeze한다.

$$
\mathcal I_n
=
(
V_n,
E_n,
\mathcal M_{T,n},
\mathcal M_{O,n},
\Lambda_{E,n}^c
).
$$

여기서 모든 항은 \(\mathcal Q_n^+\)에서 읽어 온 primitive/frozen index data이다.

soft epoch 동안

$$
E_n,
\mathcal M_{T,n},
\mathcal M_{O,n}
$$

의 combinatorial labels는 변하지 않는다.

연속적으로 움직이는 것은 auxiliary position variables이다.

이를 core의 \(\rho\)와 구분하기 위해

$$
r:V_n\to\mathbb R^3
$$

라고 쓴다.

epoch 시작에서

$$
r(0)=\rho_n
$$

31. Soft T geometry defect

frozen primitive motif

$$
T\in\mathcal M_{T,n}
$$

의 vertex set을 \(V_T\)라 한다.

dimensionless soft geometry defect를

$$
d_T(T;r)
=
\sum_{\{v,w\}\in\binom{V_T}{2}}
\left(
\frac{
|r(v)-r(w)|^2
}{
\ell_Q^2
}
-1
\right)^2
$$

로 정의한다.

명백히

$$
d_T(T;r)\ge0
$$

또한

$$
d_T(T;r)=0
$$

이면 \(V_T\)의 모든 six pair distance가 \(\ell_Q\)이다.

따라서 4개의 distinct points는 regular tetrahedral configuration을 이룬다.

admissible epoch 시작점에서는

$$
d_T(T;\rho_n)=0
$$

32. Soft O geometry defect

primitive

$$
O\in\mathcal M_{O,n}
$$

의 opposite matching을

$$
\mathcal P_O
$$

라 한다.

dimensionless defect를

$$
\begin{aligned}
d_O(O;r)
=&
\sum_{
\{v,w\}\subset V_O,\;
\{v,w\}\notin\mathcal P_O
}
\left(
\frac{|r(v)-r(w)|^2}{\ell_Q^2}
-1
\right)^2
\\
&+
\sum_{
\{v,w\}\in\mathcal P_O
}
\left(
\frac{|r(v)-r(w)|^2}{\ell_Q^2}
-2
\right)^2.
\end{aligned}
$$

그러면

$$
d_O(O;r)\ge0.
$$

또한

$$
d_O(O;r)=0
$$

이면 non-opposite pair distance는 모두

$$
\ell_Q
$$

이고 opposite pair distance는 모두

$$
\sqrt2\,\ell_Q
$$

이다.

이 distance data는 세 opposite half-axis가 공통 midpoint를 가지며 pairwise orthogonal하도록 강제하므로 어떤 center \(c\)와 orthonormal frame \((u_1,u_2,u_3)\)가 존재하여

$$
r(x_i^\pm)
=
c\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt2}u_i
$$

따라서 zero defect는 exact regular octahedral realization에 해당한다.

admissible epoch 시작에서는

$$
d_O(O;\rho_n)=0
$$

33. Soft motif weights

$$
\kappa_T>0,
\qquad
\kappa_O>0
$$

를 선택하고

$$
w_T(T;r)
=
e^{-\kappa_T d_T(T;r)}
$$

$$
w_O(O;r)
=
e^{-\kappa_O d_O(O;r)}
$$

로 둔다.

따라서

$$
0<w_T\le1,
\qquad
0<w_O\le1.
$$

admissible epoch boundary에서는 모든 frozen primitive motif가 exact하므로

$$
w_T(T;\rho_n)=1
$$

$$
w_O(O;\rho_n)=1
$$

34. Frozen-edge soft motif counts

각 frozen evaluated primitive edge

$$
e\in\Lambda_{E,n}^c
$$

에 대해

$$
t_{e,n}^{\mathrm{soft}}(r)
=
\sum_{
T\in\mathcal M_{T,n}:
e\in E(T)
}
w_T(T;r)
$$

$$
o_{e,n}^{\mathrm{soft}}(r)
=
\sum_{
O\in\mathcal M_{O,n}:
e\in E(O)
}
w_O(O;r)
$$

로 정의한다.

soft counts는 일반적으로 real-valued이다.

$$
t_{e,n}^{\mathrm{soft}},
o_{e,n}^{\mathrm{soft}}
\in\mathbb R_{\ge0}
$$

따라서 hard integer zero-residual theorem을 soft counts에 적용하지 않는다.

35. Exact hard-soft boundary compatibility

epoch 시작에서는

$$
w_T=w_O=1
$$

이므로

$$
t_{e,n}^{\mathrm{soft}}(\rho_n)
=
N_T(e)
$$

및

$$
o_{e,n}^{\mathrm{soft}}(\rho_n)
=
N_O(e).
$$

따라서 soft residual은 admissible epoch boundary에서 hard residual과 정확히 일치한다.

$$
\Omega_{e,n}^{TO,\mathrm{soft}}(\rho_n)
=
\Omega_e^{TO}.
$$

이 compatibility는

$$
\kappa\to\infty
$$

극한을 필요로 하지 않는다.

이는 soft sector가 arbitrary detected candidate family가 아니라 **현재 primitive motif labels를 frozen continuation**하기 때문에 성립한다.

36. Soft residual and geometric action

$$
\Omega_{e,n}^{TO,\mathrm{soft}}(r)
=
2\pi-
\left(
t_{e,n}^{\mathrm{soft}}(r)\alpha_T+
o_{e,n}^{\mathrm{soft}}(r)\alpha_O
\right).
$$

soft reference action은

$$
S_{\mathrm{ref},n}^{\mathrm{soft}}(r)
=
\lambda_{TO}
\sum_{e\in\Lambda_{E,n}^c}
\left(
\Omega_{e,n}^{TO,\mathrm{soft}}(r)
\right)^2.
$$

soft zero residual은 real-valued equation일 뿐

$$
(t,o)=(2,2)
$$

를 함의하지 않는다.

37. Soft contact penalty

frozen primitive edge set \(E_n\)에 대해

$$
S_{\mathrm{contact},n}(r)
=
\lambda_{\mathrm{contact}}
\sum_{\{v,w\}\in E_n}
\left(
\frac{|r(v)-r(w)|^2}{\ell_Q^2}
-1
\right)^2.
$$

여기서

$$
\lambda_{\mathrm{contact}}\ge0.
$$

admissible hard state에서는

$$
S_{\mathrm{contact},n}(\rho_n)=0
$$

38. Soft exclusion penalty

$$
S_{\mathrm{excl},n}(r)
=
\lambda_{\mathrm{excl}}
\sum_{\{v,w\}\in\binom{V_n}{2}}
\left[
\max
\left(
0,
1-
\frac{|r(v)-r(w)|^2}{\ell_Q^2}
\right)
\right]^2
$$

여기서

$$
\lambda_{\mathrm{excl}}\ge0
$$

exact admissible state에서는

$$
S_{\mathrm{excl},n}(\rho_n)=0
$$

이 penalty는 off-shell trajectory가 exclusion region을 탐색하는 것을 가능하게 하지만 그러한 intermediate point를 physical Qaether configuration으로 승격시키지는 않는다.

39. Optional shape regularization

필요한 경우 differentiable nonnegative functional

$$
S_{\mathrm{shape},n}(r)\ge0
$$

를 추가할 수 있다.

사용하지 않으면

$$
S_{\mathrm{shape},n}=0
$$

shape regularization의 구체적 형태는 c-layer의 additional model choice이다.

40. Total soft objective

$$
S_{\mathrm{soft},n}
=
S_{\mathrm{ref},n}^{\mathrm{soft}} + S_{\mathrm{contact},n} + S_{\mathrm{excl},n} + S_{\mathrm{shape},n}.
$$

\(S_{\mathrm{slot}}\)은 frozen \(E_n\)에서 상수이므로 soft position gradient에 직접 영향을 주지 않는다.

ordering cost 역시 frozen combinatorial order만을 사용할 경우 soft position objective에서 생략할 수 있다.

41. Local finite soft epoch

무한 Qaether configuration에서는 soft gradient flow를 global infinite-dimensional system으로 자동 정의하지 않는다.

대신 compact active region

$$
\Lambda
$$

와 buffer

$$
\Lambda^+
$$

를 사용한다.

epoch 시작점의 realization \(\rho_n\)에 대해

$$
V_{n,\mathrm{act}}^\Lambda
=
\{
v:\rho_n(v)\in\Lambda
\}
$$

$$
V_n^{\Lambda,+}
=
\{
v:\rho_n(v)\in\Lambda^+
\}
$$

로 둔다.

buffer vertices

$$
V_n^{\Lambda,+}
\setminus
V_{n,\mathrm{act}}^\Lambda
$$

는 local epoch 동안 fixed boundary data로 둘 수 있다.

42. Soft trust radius

soft active vertices의 최대 허용 displacement를

$$
\delta_n>0
$$

로 선택한다.

local epoch에서는

$$
|r(v,\tau)-\rho_n(v)|
\le\delta_n
\qquad
\forall v\in V_{n,\mathrm{act}}^\Lambda
$$

가 유지되는 동안만 frozen local description을 사용한다.

buffer는 최소한

$$
r_{\mathrm{buf}}
\ge
\sqrt2\,\ell_Q+\delta_n
$$

로 둔다.

이는 active vertex가 \(\delta_n\)만큼 이동하더라도 exact \(T/O\)-scale neighborhood를 시작 buffer 안에서 추적할 수 있게 하는 충분조건이다.

trust bound에 도달하면 epoch를 종료하고 re-admissibilization/reindexing을 수행한다.

43. Mobility-form soft relaxation

active continuous coordinate vector를

$$
\Xi_n
=
(r(v))_{v\in V_{n,\mathrm{act}}^\Lambda}
$$

라 한다.

selected inner product에 대해 symmetric positive semidefinite mobility operator를

$$
M_n(\Xi_n)\succeq0
$$

로 둔다.

soft Onsager-type relaxation은

$$
\dot\Xi_n
=
-M_n(\Xi_n)
\nabla_{\Xi_n}
S_{\mathrm{soft},n}
$$

여기서 minus sign은 필수이다.

44. Soft monotonicity theorem

frozen-index epoch 동안 \(S_{\mathrm{soft},n}\)이 differentiable하고

$$
M_n\succeq0
$$

이면

$$
\frac{d}{d\tau}
S_{\mathrm{soft},n}
=
\left\langle
\nabla S_{\mathrm{soft},n},
\dot\Xi_n
\right\rangle.
$$

flow equation을 대입하면

$$
\frac{d}{d\tau}
S_{\mathrm{soft},n}
=
-
\left\langle
\nabla S_{\mathrm{soft},n},
M_n
\nabla S_{\mathrm{soft},n}
\right\rangle
\le0
$$

따라서

$$
\text{soft objective is monotone non-increasing inside one frozen epoch}.
$$

이 theorem은 index freezing이 유지되는 구간에만 적용된다.

45. Soft trajectory는 physical time trajectory가 아니다

soft path

$$
r_n(\tau)
$$

는 일반적으로

$$
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
$$

안의 off-shell relaxation trajectory이다.

따라서 v2.5-curvature에서 기본적으로 physical Qaether history라고 부르는 것은

$$
\mathcal Q_0,
\mathcal Q_1,
\mathcal Q_2,\ldots
\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

인 admissible state sequence이다.

soft continuous parameter

$$
\tau
$$

를 실제 fundamental physical time과 동일시하지 않는다.

그러한 interpretation은 future dynamical layer가 별도로 정해야 한다.

46. Admissibilization map

soft endpoint를 다시 exact v2.5 state로 변환하기 위해 model-selected admissibilization procedure를 둔다.

$$
\mathsf{Adm}:
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
\times
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
\longrightarrow
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

두 번째 argument는 epoch 시작 또는 fallback hard state이다.

$$
\mathcal Q^{\mathrm{prop,soft}}
=
\mathsf{Adm}
(
r_n^\star,
\mathcal Q_n^+
).
$$

admissibilization은 필요하면

$$
E,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
$$

를 함께 reselection할 수 있다.

그러나 결과는 반드시 exact core axioms 전체를 만족해야 한다.

특히

* contact/exclusion,
* primitive cycle geometry,
* primitive motif geometry,
* \(O\)-square sector,
* bond support,
* motif non-interpenetration

을 모두 다시 검사한다.

새로운

$$
\mathcal C_\square
$$

가 선택되면

$$
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
$$

와

$$
\pi_\square
$$

는 canonical하게 재구성한다.

47. Admissibilization existence convention

어떤 soft endpoint에 대해 개선된 admissible reconstruction을 찾지 못할 수도 있다.

이를 formal obstruction으로 만들지 않기 위해

$$
\mathsf{Adm}
(
r_n^\star,\mathcal Q_n^+
)
=
\mathcal Q_n^+
$$

를 허용한다.

즉 fallback identity reconstruction을 항상 허용한다.

따라서 \(\mathsf{Adm}\)은 적어도 하나의 admissible output을 항상 가질 수 있다.

48. Post-soft physical acceptance

soft objective가 감소했다고 해서 admissibilization 후 hard action도 반드시 감소하는 것은 아니다.

따라서

$$
\Delta S_c^{\mathrm{soft-prop}}
=
S_c^{\mathrm{hard}}
[
\mathcal Q^{\mathrm{prop,soft}}
]
-
S_c^{\mathrm{hard}}
[
\mathcal Q_n^+
]
$$

를 별도로 계산한다.

deterministic physical relaxation을 원하면

$$
\Delta S_c^{\mathrm{soft-prop}}<0
$$

일 때만 admissibilized soft proposal을 채택한다.

그 외에는

$$
\mathcal Q_n^+
$$

를 유지한다.

따라서 soft monotonicity와 physical hard monotonicity를 혼동하지 않는다.

49. Type-consistent hybrid scheduler

step \(n\)의 admissible state를

$$
\mathcal Q_n
\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

라 하자.

49.1 Hard proposal

$$
\widetilde{\mathcal Q}_n
\sim
q_{\mathrm{prop}}
(
\mathcal Q_n,\cdot
)
$$

를 생성한다.

49.2 Hard acceptance

hard rule에 따라

$$
\mathcal Q_n^+
=
\begin{cases}
\widetilde{\mathcal Q}_n,
&
A_n^{\mathrm{hard}}=1,
\\
\mathcal Q_n,
&
A_n^{\mathrm{hard}}=0.
\end{cases}
$$

여기서 항상

$$
\mathcal Q_n^+
\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}.
$$

49.3 Freeze

$$
\mathcal I_n
=
\mathsf{Freeze}
(
\mathcal Q_n^+
).
$$

\(\mathsf{Freeze}\)의 output은 index bundle이지 새로운 Qaether configuration이 아니다.

49.4 Off-shell embedding

$$
r_n(0)
=
\mathsf{Embed}
(
\mathcal Q_n^+;
\mathcal I_n
).
$$

49.5 Soft relaxation

$$
r_n^\star
=
\Phi_{\Delta\tau}^{\mathrm{soft}}
(
r_n(0);
\mathcal I_n
).
$$

49.6 Admissibilization

$$
\widetilde{\mathcal Q}_n^{\mathrm{soft}}
=
\mathsf{Adm}
(
r_n^\star,
\mathcal Q_n^+
).
$$

그러면

$$
\widetilde{\mathcal Q}_n^{\mathrm{soft}}
\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}.
$$

49.7 Post-soft acceptance

$$
\mathcal Q_{n+1}
=
\begin{cases}
\widetilde{\mathcal Q}_n^{\mathrm{soft}},
&
A_n^{\mathrm{soft}}=1,
\\
\mathcal Q_n^+,
&
A_n^{\mathrm{soft}}=0.
\end{cases}
$$

따라서 최종 scheduler는

$$
\begin{aligned}
\mathcal Q_n
&\rightarrow
\text{admissible hard proposal}
\\
&\rightarrow
\text{hard accept/reject}
\\
&\rightarrow
\text{freeze}
\\
&\rightarrow
\text{off-shell soft relaxation}
\\
&\rightarrow
\text{admissibilization}
\\
&\rightarrow
\text{hard accept/reject}
\\
&\rightarrow
\mathcal Q_{n+1}.
\end{aligned}
$$

이 scheduler에는

$$
\mathsf{Reindex}:\mathcal Q\to\mathcal I
$$

를 configuration-returning map처럼 사용하는 type mismatch가 없다.

50. Deterministic hybrid monotonicity

첫 번째 hard proposal과 post-soft admissible proposal 모두

$$
\Delta S_c<0
$$

일 때만 수용한다고 하자.

그러면 실제 physical state sequence에 대해

$$
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q_{n+1}]
\le
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q_n]
$$

적어도 하나의 nontrivial transition이 accepted된 step에서는 strict inequality가 성립한다.

soft off-shell objective의 monotonicity만으로 이 conclusion이 나오는 것이 아니라, 두 admissible transition에 hard acceptance를 다시 적용했기 때문에 성립한다.

51. Flat SU(2) holonomy와의 관계

v2.5에서

$$
q_v\in SU(2)
$$

이고

$$
h_{vw}=q_v^{-1}q_w.
$$

closed graph loop

$$
C=(v_0,v_1,\ldots,v_n=v_0)
$$

에 대해

$$
h_C
=
h_{v_0v_1}
h_{v_1v_2}
\cdots
h_{v_{n-1}v_0}.
$$

따라서

$$
\begin{aligned}
h_C
&=
q_{v_0}^{-1}q_{v_1}
q_{v_1}^{-1}q_{v_2}
\cdots
q_{v_{n-1}}^{-1}q_{v_0}
\\
&=
1_{SU(2)}.
\end{aligned}
$$

즉

$$
h_C=1_{SU(2)}
$$

이다.

v2.5-curvature은 independent \(SU(2)\) edge connection을 도입하지 않는다.

따라서

$$
S_c
\neq
\sum_C
\operatorname{tr}(1-h_C)
$$

이며

$$
\text{reference-residual curvature}
\neq
SU(2)\text{ holonomy curvature}
$$

모든 admissible hard state에서 induced \(SU(2)\) connection은 계속 flat하다.

52. Square-oriented sector와의 관계

v2.5-curvature의 기본 curvature residual은 unoriented primitive edge motif incidence만을 사용한다.

따라서

$$
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
$$

의 두 oriented lifts나 reversal involution을 curvature residual 정의에 자동으로 사용하지 않는다.

즉

$$
\Omega_e^{TO}
\text{ is orientation-blind.}
$$

future square polarity, chirality 또는 charge-like observable과 curvature action을 coupling하려면 별도의 later definition이 필요하다.

53. Gravity-like interpretation

v2.5-curvature이 허용하는 가장 강한 현재 해석은 다음이다.

$$
\text{Qaether configurations may be dynamically biased toward lower }
T/O
\text{ reference residual.}
$$

이는

$$
\text{Einstein curvature}
$$

도 아니고

$$
\text{Newtonian force law}
$$

도 아니며

$$
\text{Regge deficit angle dynamics}
$$

도 아니다.

'gravity-like'이라는 용어를 사용한다면 정확한 의미는

$$
\text{structural relaxation toward lower boundary-motif reference action}.
$$

이다.

\(B_e^O>0\) 역시 physical attraction을 직접 의미하지 않는다.

54. Parameter bundle

v2.5-curvature의 parameter bundle을

$$
\Theta_c
$$

라 쓰고 기본적으로

$$
\begin{aligned}
\Theta_c=
(
&\lambda_{TO},
\lambda_{\mathrm{cov}},
\lambda_{\mathrm{slot}},
\lambda_{\mathrm{ord}},
\\
&\mu_{\mathrm{TTOO}},
\mu_{\mathrm{bad}},
\\
&\kappa_T,
\kappa_O,
\\
&\lambda_{\mathrm{contact}},
\lambda_{\mathrm{excl}},
\lambda_{\mathrm{shape}},
\\
&\beta,
\Delta\tau,
r_{\mathrm{buf}},
\delta
).
\end{aligned}
$$

로 둔다.

기본 constraints는

$$
\lambda_{TO}>0
$$

$$
\lambda_{\mathrm{cov}},
\lambda_{\mathrm{slot}},
\lambda_{\mathrm{ord}},
\lambda_{\mathrm{contact}},
\lambda_{\mathrm{excl}},
\lambda_{\mathrm{shape}}
\ge0
$$

$$
0<
\mu_{\mathrm{TTOO}}
<
\mu_{\mathrm{bad}}
$$

$$
\kappa_T,\kappa_O>0
$$

$$
\beta>0
$$

$$
\Delta\tau>0
$$

이다.

exact hard local evaluation에는

$$
r_{\mathrm{buf}}
\ge
\sqrt2\,\ell_Q
$$

가 충분하다.

local soft trust-radius epoch에서는

$$
r_{\mathrm{buf}}
\ge
\sqrt2\,\ell_Q+\delta
$$

선택적 term을 사용하지 않으면 해당 parameter는 inactive이다.

55. Formal data of Qaether v2.5-curvature

v2.5-curvature의 formal extension data를 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$
\begin{aligned}
\mathfrak C_{2.5-c-1}
=
(
&
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}},
\Theta_c,
\Lambda_2^c,
\Lambda_E^c,
\\
&
N_T,N_O,
\alpha_T,\alpha_O,
\Omega^T,\Omega^{TO},
D^T,D^{TO},B^O,
\\
&
\chi_E,\chi_{TO},
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}},
S_{\mathrm{cov}},
S_{\mathrm{slot}},
S_{\mathrm{ord}},
S_c^{\mathrm{hard}},
\\
&
\widehat{\mathcal M}_T,
\widehat{\mathcal M}_O,
\\
&
\Lambda,
\Lambda^+,
V^\Lambda,
\Lambda_{2,+}^c,
\Lambda_{E,+}^c,
S_c^{\Lambda,\mathrm{hard}},
s_c,
\\
&
q_{\mathrm{prop}},
A,
P,
m^{\mathrm{prop}},
\\
&
\mathscr X_{\mathrm{soft}},
\mathcal I_n,
r,
d_T,d_O,
w_T,w_O,
\\
&
t_n^{\mathrm{soft}},
o_n^{\mathrm{soft}},
\Omega_n^{TO,\mathrm{soft}},
\\
&
S_{\mathrm{ref},n}^{\mathrm{soft}},
S_{\mathrm{contact},n},
S_{\mathrm{excl},n},
S_{\mathrm{shape},n},
S_{\mathrm{soft},n},
\\
&
M_n,
\Phi_{\Delta\tau}^{\mathrm{soft}},
\mathsf{Freeze},
\mathsf{Embed},
\mathsf{Adm}
).
\end{aligned}
$$

이 tuple은 v2.5 primitive data를 대체하지 않는다.

정확한 관계는

$$
\mathcal Q_{2.5-2}
\quad
\longmapsto
\quad
\text{c-layer observables and dynamics}
$$

56. Core formulas

Hard primitive incidence

$$
N_T(e)
=
\#\{T\in\mathcal M_T:e\in E(T)\}
$$

$$
N_O(e)
=
\#\{O\in\mathcal M_O:e\in E(O)\}
$$

Reference residual

$$
\Omega_e^{TO}
=
2\pi-
[
N_T(e)\alpha_T+
N_O(e)\alpha_O
]
$$

Zero residual

$$
\Omega_e^{TO}=0
\iff
(N_T(e),N_O(e))=(2,2)
$$

Hard action

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}}
=
\lambda_{TO}
\sum_{e\in\Lambda_E^c}
(\Omega_e^{TO})^2
$$

Optional vacancy penalty

$$
S_{\mathrm{slot}}
=
\lambda_{\mathrm{slot}}
\sum_{p\in\Lambda_2^c}
(1-\chi_E(p))
$$

Soft weights

$$
w_T=e^{-\kappa_Td_T},
\qquad
w_O=e^{-\kappa_Od_O}
$$

Soft counts

$$
t_{e,n}^{\mathrm{soft}}
=
\sum_{T:e\in E(T)}w_T(T)
$$

$$
o_{e,n}^{\mathrm{soft}}
=
\sum_{O:e\in E(O)}w_O(O).
$$

Soft flow

$$
\dot\Xi_n
=
-
M_n\nabla_{\Xi_n}S_{\mathrm{soft},n},
\qquad
M_n\succeq0.
$$

Soft monotonicity

$$
\frac{dS_{\mathrm{soft},n}}{d\tau}
=
-
\langle
\nabla S_{\mathrm{soft},n},
M_n\nabla S_{\mathrm{soft},n}
\rangle
\le0.
$$

Hybrid physical update

$$
\mathcal Q_n
\rightarrow
\mathcal Q_n^+
\rightarrow
r_n^\star
\rightarrow
\widetilde{\mathcal Q}_n^{\mathrm{soft}}
\rightarrow
\mathcal Q_{n+1}
$$

with

$$
\mathcal Q_n,
\mathcal Q_n^+,
\widetilde{\mathcal Q}_n^{\mathrm{soft}},
\mathcal Q_{n+1}
\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

57. Conservative-extension consistency theorem

Qaether v2.5-curvature은 v2.5의 conservative later-layer extension으로 해석할 수 있다.

그 이유는 다음과 같다.

첫째, 새로운 curvature action은 기존 primitive objects를 재정의하지 않는다.

$$
V,E,\mathcal C_\triangle,\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,\mathcal M_O
$$

의 의미는 변하지 않는다.

둘째,

$$
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square
$$

는 계속 canonical-derived data이며 dynamical independent variable이 아니다.

셋째, hard reference residual은 v2.5가 이미 정의한

$$
N_T(e),N_O(e)
$$

에 외부 Euclidean reference angles를 적용한 derived observable이다.

넷째, hard physical dynamics는 정의상

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

안에서만 이동한다.

다섯째, soft exact-constraint violation은 별도의

$$
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
$$

에서만 일어나므로 v2.5 state-space axiom과 모순되지 않는다.

여섯째, soft endpoint는 physical state로 사용되기 전에

$$
\mathsf{Adm}
$$

을 통해 exact admissible configuration으로 되돌아온다.

일곱째, induced \(SU(2)\) relative phase

$$
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
$$

를 수정하지 않으므로

$$
h_C=1_{SU(2)}
$$

가 계속 성립한다.

따라서

$$
\text{v2.5-curvature does not alter the formal ontology of v2.5.}
$$

58. 최종 해석

Qaether v2.5-curvature의 curvature-like quantity는 primitive edge 주변의 selected \(T/O\) motif incidence가 external Euclidean reference closure

$$
2T+2O
$$

와 얼마나 다른지를 측정한다.

$$
(N_T(e),N_O(e))
\mapsto
\Omega_e^{TO}.
$$

primitive motif는 여전히 v2.5의 selected primitive boundary motif이다.

$$
\mathcal M_T,\mathcal M_O
=
\text{primitive selected motif families}.
$$

별도로 검출되는 exact geometric pattern은

$$
\widehat{\mathcal M}_T,
\widehat{\mathcal M}_O
=
\text{derived diagnostic families}
$$

이며 자동으로 primitive family와 동일시하지 않는다.

curvature residual은 primitive edge에만 Euclidean edge-reference quantity로 정의된다.

$$
e\in E.
$$

non-edge selected pair는 필요하면 별도의 vacancy penalty를 받을 수 있으나 이를 \(2\pi\) dihedral curvature라고 해석하지 않는다.

hard integer residual은 정확히

$$
2T+2O
$$

에서만 zero이다.

\(TOTO\)와 \(TTOO\)는 모두 \(2T+2O\) closure를 만족하며

$$
TTOO\neq\text{automatic Euclidean defect}
$$

TOTO preference는 별도의 optional ordering action이다.

soft relaxation은 physical Qaether state space 내부의 exact continuous motion이 아니라

$$
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
$$

에서 진행되는 auxiliary off-shell relaxation이다.

그 flow는

$$
\dot\Xi=-M\nabla S
$$

이며 frozen epoch 안에서

$$
\frac{dS}{d\tau}\le0.
$$

physical Qaether evolution은 admissibilization과 hard acceptance를 통과한

$$
\mathcal Q_n\in\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

의 sequence로 정의된다.

마지막으로 v2.5-curvature은 independent \(SU(2)\) connection curvature를 도입하지 않으므로

$$
h_C=1_{SU(2)}
$$

는 그대로 유지된다.

따라서 최종적으로

$$
\text{Qaether v2.5-curvature}
=
\text{a rigor-guarded boundary-motif reference-residual action layer}
$$

$$
\text{built on primitive }T/O\text{ edge incidence of the v2.5 core}
$$

$$
\text{with exact admissible hard dynamics and auxiliary off-shell soft relaxation}
$$

$$
\text{while preserving the v2.5 boundary ontology,
canonical-derived square structure,
and flat induced }SU(2)\text{ holonomy}.
$$