[v2.5] 수정되는 내용

v2.5는 v2.4의 핵심 아이디어를 유지하면서 수학적 지위와 논리적 연결을 훨씬 더 엄밀하게 만든 버전입니다.

가장 큰 변화는 먼저, 무엇이 기본 정의이고 무엇이 유도되는 결과인지 분리했다는 점입니다.

 

v2.4에서는 정의, 정리, 참조기하가 일부 섞여 있었지만, v2.5에서는 primitive data, derived proposition, Euclidean reference criterion, future structure를 구분했습니다. 그래서 이후 새로운 물리량을 추가할 때 기존 구조에서 따라오는 것인지 새 가정인지 명확히 추적할 수 있습니다.

 

또 edge의 의미가 더 정확해졌습니다.

v2.5에서 edge는 두 Qaether 사이의 selected primitive contact adjacency입니다. 즉 두 vertex가 contact scale $\ell_Q$에 있다고 해서 반드시 edge가 되는 것은 아니고, 그중 선택된 관계만 edge가 됩니다. 그리고 edge는 별도의 곡선이나 path를 갖는 객체가 아니라 두 vertex 사이의 contact 관계 자체입니다.

 

기하학적 부분도 정리됐습니다.

2D boundary closure는 이제 cycle 자체가 2차원 물체라는 뜻이 아니라, 그 cycle을 이루는 vertex들이 하나의 2차원 affine plane 위에서 닫힌 구조를 이룬다는 뜻으로 명확해졌습니다. 따라서 triangle이나 square는 여전히 filled face가 아니라 boundary cycle입니다.

 

v2.4에서 별도 공리였던 local finiteness는 v2.5에서 더 이상 독립 가정이 아닙니다. 최소거리 조건

$$v\neq w\Rightarrow |\rho(v)-\rho(w)|\ge \ell_Q$$

으로부터 자동으로 local finiteness가 나오고, 추가로

$$\deg(v)\le12 \qquad \text{와} \qquad |V|\le\aleph_0$$

까지 유도됩니다. 즉 공리는 줄고, 그 공리에서 따라오는 결과는 더 많아졌습니다.

 

square orientation 구조도 더 깔끔해졌습니다.

v2.4에서는 $\operatorname{Or}(\mathcal C_\square), \pi_\square$가 configuration의 다른 요소들과 같은 수준으로 들어가 있었지만, v2.5에서는 이것들이 canonical derived components, 즉 $\mathcal C_\square$가 주어지면 자동으로 결정되는 구조이며 독립적인 자유도가 아니라는 점을 명시했습니다.

 

$SU(2)$ 부분에서는 중요한 엄밀화가 있었습니다. v2.4의

$$\Pi_C=\prod q_v$$

같은 vertex product는 $SU(2)$의 비가환성 때문에 unoriented cycle 위에서 그대로는 잘 정의되지 않습니다. v2.5에서는 이를 ordered cycle product로 바꾸고, cyclic shift에서는 conjugation이 일어나며 reversal에는 별도 규칙이 필요하다는 점을 명시했습니다. 반면

$$h_{vw}=q_v^{-1}q_w$$

에서 유도되는 loop holonomy

$$h_C=1$$

은 그대로 유지됩니다.

 

Part III의 해석도 수정됐습니다. v2.4에서는 TTOO를 weakly defective한 구조처럼 표현했지만, v2.5에서는 TTOO 자체는 Euclidean closure defect가 아니라 non-alternating clustered order로 정리했습니다.

 

또한 $8T+6O$라는 local counting만으로 vertex link가 반드시 cuboctahedron이라고 결론내리지 않고, 실제 combinatorial structure까지 확인해야 한다고 명확히 했습니다.

 

v2.5에서 새로 추가된 중요한 부분은 motif overlap 규칙입니다. 서로 다른 T/O motif들은 vertex, edge, cycle을 공유할 수 있지만 서로의 내부를 침범할 수 없습니다. 이를 위해

$$H(M)=\operatorname{conv}\rho(V_M)$$

라는 auxiliary geometric carrier를 사용해 non-interpenetration 조건을 정의했습니다. 이 carrier는 filled cell을 ontology에 추가하는 것이 아니라, motif들이 기하학적으로 어떻게 공존할 수 있는지를 판정하기 위한 보조 구조입니다.

 

또한 v2.5에서는 isolated Qaether와 free-standing triangle을 명시적으로 허용했습니다. isolated vertex는 존재할 수 있지만 다른 connected component와 interaction이 없으면 그 component에서는 relationally inaccessible합니다. 반면 primitive triangle은 반드시 T나 O에 속할 필요가 없지만, primitive square는 여전히 O-sector에 속해야 합니다.

 

마지막으로 v2.5는 단순히 공리를 적는 데서 끝나지 않고, 이 공리들이 실제로 동시에 만족될 수 있는 explicit model을 제시합니다. 분리된 T/O 모델뿐 아니라 하나의 triangle을 공유하면서도 내부가 침범하지 않는 connected T/O 모델까지 좌표로 확인했습니다.

 

요약하면,

v2.4 = Qaether의 핵심 구조를 제시한 버전

이라면,

v2.5 = 그 구조를 수학적으로 엄밀하게 정리하고 닫은 버전

입니다.

 

즉, 이론의 방향이나 핵심 ontology가 바뀐 것은 거의 없고, 정의의 정확성·논리적 분리·유도 가능성·모델의 존재성 검증이 크게 강화된 것이 v2.5의 본질적인 변화입니다.