[v2.5] Basic Part: Static Boundary-Graph Axioms

Static Boundary-Graph Foundation with Flat $SU(2)$ Vertex State and $C_4$-Oriented Square Sector

0. Core Statement

Qaether 이론의 지금 버전은 정적 boundary-graph foundation이다.

이 버전의 핵심은 다음이다.

\[
\text{Qaether}=\text{vertex}
\]

\[
\text{primitive bond}=\text{edge}
\]

\[
\text{primitive structures are boundary structures}
\]

\[
\text{no filled faces, no filled volumes}
\]

즉 Qaether 이론은 채워진 면이나 채워진 부피를 기본 존재자로 두지 않는다.
기본 구조는 vertex–edge network와 그 위의 selected boundary cycles, boundary motifs이다.

v2.5의 정적 기초는 세 층으로 구성된다.

• boundary incidence layer
• vertex-induced flat $SU(2)$ relative-phase layer
• $C_4$-oriented square structural layer

Part 0. Introduction

0.1 Purpose

Qaether 이론의 목적은 공간을 연속체로 먼저 가정하지 않고, 공간의 최소 단위와 그 관계망으로부터 기하학적·물리학적 구조가 어떻게 생길 수 있는지 탐구하는 것이다.

기본 흐름은 다음이다.

 

minimum units of space $\rightarrow$ selected contact-incidence graph $\rightarrow$ boundary cycles $\rightarrow$ T/O motifs
$\rightarrow$ emergent structure-like sectors

 

여기서 Qaether는 배경공간 속을 움직이는 입자가 아니다.

\[
\text{Qaether is not a particle inside space.}
\]

오히려 Qaether는 공간 자체를 구성하는 최소 단위이다.

\[
\text{Qaether is a minimum unit of space itself.}
\]

따라서 Qaether 이론에서 “운동”은 일반적인 입자 운동보다는 다음 구조들의 변화로 해석된다.

• graph adjacency rearrangement
• motif-network evolution
• defect propagation
• internal $SU(2)$ state evolution

0.2 Present Status

Qaether 이론은 완성된 물리 이론이 아니라 graph-ontological, pre-dynamical boundary-graph motif model이다. 다만 현 버전은 $\rho:V\to\mathbb R^3$라는 보조적(auxiliary) 유클리드 기하 실현을 primitive mathematical data로 사용하므로, 강한 의미에서 모든 기하가 그래프만으로부터 이미 emergent하게 유도되었다고 주장하지 않는다.

Qaether 이론은 일반 상대론을 완전히 유도했다거나 양자장 이론을 완전히 유도했다거나 표준 모형을 유도했다는 뜻으로 만들어지지 않았다. 대신 이 이론을 통해 공간 단위와 boundary motif 구조만으로 물리량-like sector의 기반을 만들 수 있는가에 관심을 두고 있다.

0.3 Scope

이 버전에서 정의하는 것은 다음이다.

• Qaether ontology
• Qaether graph
• auxiliary Euclidean geometric realization
• primitive triangular and square boundary cycles
• $T/O$ boundary motifs
• $SU(2)$ vertex state
• flat edge-induced loop holonomy
• $C_4$-oriented square double cover
• canonical-derived status of the oriented-square cover
• relational status of disconnected / isolated Qaether sectors
• free-standing primitive triangular cycles
• vertex-induced motif overlap with geometric non-interpenetration

 

이 버전에서 아직 정의하지 않는 것은 다음이다.

• $n_\square$ oriented square polarity
• $Q_O$ O-frame structural charge
• $\Pi_\triangle$ central triangular parity
• $\kappa_\square$ color-like square observable
• confinement-like dynamics

즉 $(n_\square,\ Q_O,\ \Pi_\triangle,\ \kappa_\square)$는 이후 따로 정의하겠다.

0.4 Logical status convention

v2.5에서는 각 진술의 논리적 지위를 다음 네 종류로 구분한다.

\[
\text{primitive input / axiom}
\]

\[
\text{derived proposition}
\]

\[
\text{Euclidean reference criterion}
\]

\[
\text{future structural definition}
\]

이 구분은 특히 Part III의 정사면체–정팔면체 공간충전 결과와 Qaether boundary-graph ontology를 혼동하지 않기 위해 필요하다.

0.5 v2.5 clarification commitments

v2.5은 core ontology를 변경하지 않고 다음 여섯 지점을 명시적으로 고정한다.

1. edge는 두 Qaether 사이의 selected primitive contact adjacency이며 독립적인 곡선 또는 path 자유도를 갖지 않는다.
2. 2D boundary closure의 2D는 cycle vertex들이 하나의 2차원 affine plane에서 닫힌다는 뜻이며 filled 2-region을 뜻하지 않는다.
3. $\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$와 $\pi_\square$는 $\mathcal C_\square$에 의해 canonical하게 결정되는 derived components이며 independent degrees of freedom가 아니다.
4. isolated 또는 disconnected Qaether sector는 금지되지 않지만 다른 connected sector로부터 primitive incidence를 통해 relationally inaccessible하다.
5. primitive triangular boundary cycle은 $T/O$ motif에 속하지 않는 free-standing cycle일 수 있다.
6. motif 간 공유는 shared Qaether vertices에서 induced되며 shared vertex/edge/cycle incidence는 허용하지만 geometric carrier의 interior interpenetration은 허용하지 않는다.

Part I. Qaether Configuration and Boundary-Graph Ontology

1.1 Qaether configuration

Qaether v2.5의 full displayed configuration은 다음과 같이 쓴다.

\[
\mathcal Q_{2.5}=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
\]

다만 이 tuple의 모든 성분이 independent primitive data인 것은 아니다. 독립적인 primitive mathematical data는

\[
\mathcal D_{\mathrm{prim}}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
\]

이고, "$\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$ and $\pi_\square$ are canonical derived components determined by $\mathcal C_\square$,not independent degrees of freedom"이다. full displayed configuration에 이 둘을 함께 적는 이유는 이후 square structural sector의 정의역과 orientation-forgetting projection을 명시적으로 보이기 위해서이다.

여기서

\[
G_Q=(V,E)
\]

는 Qaether graph이다.

각 primitive 성분의 의미는 다음과 같다.

\[
V=\text{Qaether vertices}
\]

\[
E=\text{primitive bonds}
\]

\[
\rho\:V\to\mathbb{R}^3
\quad
\text{auxiliary Euclidean vertex realization}
\]

\[
\ell_Q>0
\quad
\text{contact/exclusion scale}
\]

\[
q\:V\to SU(2)
\quad
\text{vertex quaternionic state}
\]

\[
\mathcal C_\triangle = \text{selected primitive triangular boundary-cycle family}
\]

\[
\mathcal C_\square = \text{selected primitive square boundary-cycle family}
\]

\[
\mathcal M_T = \text{tetrahedral boundary motif family}
\]

\[
\mathcal M_O = \text{octahedral boundary motif family}
\]

canonical derived components는 Part VI에서 구체적으로 구성한다.

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
=
\text{oriented }C_4\text{-double cover of square supports}
\]

\[
\pi_\square:
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\to
\mathcal C_\square
\]

는 orientation-forgetting projection이다.

1.2 Qaether ontology

기본 존재론은 다음이다.

\[
\text{Qaether}=\text{vertex}
\]

즉 Qaether는 vertex로 표현된다. 하지만 이는 단순 계산용 점이 아니라 공간의 최소 단위를 나타내는 존재론적 단위이다.

두 Qaether 사이의 primitive adjacency는 edge이다.

\[
\text{primitive bond}=\text{edge}
\]

따라서 Qaether graph는

\[
G_Q=(V,E)
\]

이다.

여기서 edge는 독립적인 공간 곡선이나 embedded path가 아니다. 하나의 edge는 unordered endpoint pair 자체로 주어지는 selected primitive contact adjacency이다.

\[
\{v,w\}\in E
\Longrightarrow
\text{the edge has no independent geometric path degree of freedom.}
\]

즉 Qaether ontology에서 edge에 대해 별도의 곡률, 중간 경로, path shape 같은 자료를 부여하지 않는다. auxiliary 그림에서 두 realization point를 선분으로 연결해 나타낼 수는 있지만 그 선분 자체는 추가적인 primitive object가 아니다.

1.3 Simple graph axiom

Qaether graph는 simple graph이다.

\[
E\subseteq
\left\{
\{v,w\}\:v,w\in V,\ v\neq w
\right\}
\]

따라서 edge는 ordered pair가 아니라 unordered pair이다.

Self-loop는 허용하지 않는다.

\[
\{v,v\}\notin E
\]

Multiple edge도 허용하지 않는다.

1.4 No filled faces and no filled volumes

Qaether 이론은 채워진 면과 채워진 부피를 기본 존재자로 두지 않는다.

따라서 primitive cycles는 filled 2-face가 아니다.

\[
C_\triangle,C_\square\neq\text{filled 2-faces}
\]

또한 $T$-motif와 $O$-motif는 filled 3-cell이 아니다.

\[
T,O\neq\text{filled 3-cells}
\]

이론의 기본 구조는 boundary graph이다.

1.5 Boundary structure principle

Qaether 이론에서 다루는 primitive structures는 다음이다.

vertices, edges, boundary cycles, boundary motifs

즉,

\[
\text{primitive cycle}=\text{2D boundary closure}
\]

\[
\text{primitive motif}=\text{3D-realized boundary graph with distinguished cycle incidence}
\]

이다.

여기서 2D boundary closure의 2D는 cycle 자체가 filled 2-dimensional object라는 뜻이 아니다. cycle을 이루는 Qaether vertices의 realization이 하나의 2차원 affine plane 안에서 비퇴화된 closed polygonal boundary를 이룬다는 뜻이다.

\[
C\text{ is a 2D boundary closure}
\Longrightarrow
\dim\operatorname{aff}\rho(V(C))=2
\]

그리고 그 plane 안에서 cycle이 둘러싸는 영역은 primitive structure에 포함되지 않는다.

\[
\text{planar geometric closure}\neq\text{filled planar region}
\]

따라서 $(C_\triangle,C_\square)$는 planar 2D boundary closure이고 $(T,O)$는 3D-realized boundary graph motif이다.

1.6 Injective auxiliary geometric realization

Qaether graph는 다음의 기하학적 realization을 가진다.

\[
\rho\:V\to\mathbb{R}^3
\]

서로 다른 Qaether는 같은 realization point를 점유하지 않는다.

\[
v\neq w
\quad\Longrightarrow\quad
\rho(v)\neq\rho(w)
\]

즉 $\rho$는 injective이다.

중요한 지위 구분은 다음과 같다.

\[
\rho\text{ is auxiliary geometric structure in the present formal model.}
\]

Qaether의 존재론적 primitive는 vertex와 boundary incidence이지만, v2.5의 수학적 정의는 거리, 평면성, 직교성, affine dimension을 판정하기 위해 $\mathbb R^3$의 유클리드 구조를 외부 실현 자료로 사용한다. 따라서 현 버전은 "graph-first ontology"를 취하지만, 유클리드 기하 자체가 이미 graph만으로부터 완전히 유도되었다고 주장하지 않는다.

1.7 Contact/exclusion scale

$\ell_Q>0$는 Qaether의 primitive contact/exclusion scale이다.

서로 다른 Qaether는 최소 거리 조건을 만족한다.

\[
v\neq w
\quad\Longrightarrow\quad
|\rho(v)-\rho(w)|\ge \ell_Q
\]

Primitive bond는 contact scale에서만 허용된다.

\[
\{v,w\}\in E
\quad\Longrightarrow\quad
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
\]

그러나 역은 공리가 아니다.

\[
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
\not\Longrightarrow
\{v,w\}\in E
\]

따라서 $E$는 전체 unit-contact relation이 아니라 그 중에서 선택된 primitive incidence이다.

\[
E\subseteq E_{\mathrm{contact}}
\]

where

\[
E_{\mathrm{contact}}
:=
\left\{
\{v,w\}:v\neq w,
\ |\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
\right\}
\]

즉 $G_Q$는 일반적으로 full contact graph가 아니라 selected contact-incidence subgraph이다.

이때 contact condition은 edge의 endpoint relation을 규정한다. edge는 $\rho(v)$에서 $\rho(w)$로 이어지는 별도의 곡선을 뜻하지 않으며 $E$에 포함된 unordered pair가 primitive bond의 전부이다.

\[
\text{primitive edge geometry}
=
\text{selected contact relation of its endpoints}
\]

1.8 Derived local finiteness proposition

Local finiteness는 별도의 독립 공리로 둘 필요가 없다. $\ell_Q>0$와 uniform exclusion condition $v\neq w\Rightarrow |\rho(v)-\rho(w)|\ge\ell_Q$로부터 유도된다.

임의의 compact set $K\Subset\mathbb R^3$에 대하여,

\[
|\rho^{-1}(K)|<\infty
\]

이다. 실제로 $\rho(V)$의 서로 다른 점 주위에 반지름 $\ell_Q/2$의 서로 겹치지 않는 열린 공을 잡으면, compact neighborhood 안에 무한히 많은 such balls를 넣을 수 없다.

따라서 graph degree도 유한하다.

\[
\forall v\in V,
\qquad
\deg(v)<\infty
\]

더 강하게, $\mathbb R^3$에서 모든 neighbor가 $\rho(v)$로부터 정확히 거리 $\ell_Q$에 있고 neighbor들끼리도 최소 $\ell_Q$ 떨어져 있으므로 3차원 kissing-number bound를 적용할 수 있다.

\[
\deg(v)\le 12
\]

이 $12$는 추가 공리가 아니라 현재 Euclidean realization과 exclusion scale에서 따라오는 sharp geometric bound이다.

또한 $\mathbb R^3$를 countable한 compact boxes의 합으로 덮을 수 있고 각 compact box에는 유한 개의 realization point만 존재하므로

\[
|V|\le\aleph_0
\]

도 유도된다. 즉 v2.5의 Qaether vertex set은 자동으로 at most countable이다.

1.9 Disconnected sectors and relational accessibility

Qaether v2.5은 isolated vertex 또는 여러 disconnected graph component의 존재를 금지하지 않는다.

그래프 경로로 연결될 수 있음을

\[
v\sim_G w
\iff
\text{there exists a finite graph path from }v\text{ to }w
\]

로 정의하면 $\sim_G$의 equivalence classes가 Qaether graph의 connected sectors이다.

특히

\[
\deg(v)=0
\]

인 vertex는 singleton connected component를 이룬다. 이러한 isolated Qaether도 mathematical configuration의 원소로 존재할 수 있다.

그러나 서로 다른 connected sectors $S_1,S_2$ 사이에는 primitive edge path가 없으므로

\[
S_1\neq S_2
\Longrightarrow
\text{no primitive-incidence path connects }S_1\text{ and }S_2.
\]

따라서 한 sector 내부의 boundary-incidence layer만으로는 다른 disconnected sector에 relational access를 갖지 않는다. 이 의미에서 isolated/disconnected Qaether는 다른 sector에 대해 relationally inaccessible하며 그 sector의 내부 operational structure에는 별도의 의미를 부여하지 않는다.

이 진술은 auxiliary map $\rho$가 외부 수학적 기술에서 그 vertex를 표시할 수 없다는 뜻이 아니다. 'relationally inaccessible'은 오직 Qaether의 primitive incidence network를 통한 접근 가능성을 뜻한다.

Part II. Primitive Boundary Motifs

2.1 Motif principle

Motif는 채워진 3차원 물체가 아니다.

\[
\text{motif}\neq\text{filled 3-cell}
\]

Qaether 이론에서 motif는 다음 자료를 포함한다.

\[
\text{motif} = \text{1-skeleton boundary graph} + \text{distinguished boundary-cycle incidence}
\]

Primitive boundary motif는 두 종류이다.

\[
\mathcal M_{\mathrm{prim}} = \mathcal M_T\sqcup\mathcal M_O
\]

즉, $T$ = tetrahedral boundary motif, $O$ = octahedral boundary motif 이다.

2.2 Tetrahedral boundary motif

$T$-motif는 다음을 만족하는 element이다.

\[
T\in\mathcal M_T
\]

with data

\[
T=
\left(
V_T,
G_Q[V_T],
\mathcal C_\triangle(T)
\right)
\]

where

\[
V_T=\{a_0,a_1,a_2,a_3\}\subset V
\]

그리고 네개의 vertex는 서로 모두 다르다.

2.3 Tetrahedral boundary graph

모든 쌍 $(i\neq j)$에 대해 다음과 같다.

\[
\{a_i,a_j\}\in E
\]

그래서,

\[
G_Q[V_T]\cong K_4
\]

따라서 $T$-motif는 tetrahedral boundary graph이다.

\[
T \text{ is a } K_4\text{ boundary motif.}
\]

2.4 Tetrahedral geometric nondegeneracy

네 개의 기하학적 점은 하나의 평면에 놓이지 않아야 하며 affine span이 3차원이어야 한다. 즉, 3차원 공간에서 비퇴화(nondegenerate) 상태여야 한다:

\[
\dim\operatorname{aff}
\{\rho(a_0),\rho(a_1),\rho(a_2),\rho(a_3)\}
=3
\]

$T$의 모든 edge들은 primitive bonds이므로 6개 모든 edge 길이는 $\ell_Q$이다.

따라서 $T$의 geometric realization은 regular tetrahedral boundary graph이다.
그러나

\[
T\neq\text{filled tetrahedron}
\]

2.5 Tetrahedral triangular boundary cycles

$(T)$-모티프는 정확히 4개의 구별된 삼각형 경계 사이클을 가진다.

각 $(i=0,1,2,3)$에 대해, 만약

\[
V_T\setminus\{a_i\} = \{a_j,a_k,a_l\},
\]

라면 다음을 정의한다.

\[
C_\triangle^{(i)} = [a_j,a_k,a_l]_{D_3}
\]

그러면

\[
\mathcal C_\triangle(T) =
\left\{
C_\triangle^{(0)},
C_\triangle^{(1)},
C_\triangle^{(2)},
C_\triangle^{(3)}
\right\}
\]

이고

\[
\mathcal C_\triangle(T)\subseteq\mathcal C_\triangle
\]

이다. 따라서

\[
|\mathcal C_\triangle(T)|=4
\]

이며

\[
T\sim 4C_\triangle
\]

이다. 여기서 $(\sim)$는 경계 사이클 결합(incidence) 분해를 의미하며 채워진 면으로의 분해를 뜻하지 않는다.

2.6 No primitive square inside (T)

$(K_4)$ 내부의 모든 4-사이클은 현(chord)을 가진다.
따라서 $(T)$-모티프는 내부에 원시 현 없는(chordless) 정사각형 경계 사이클을 포함하지 않는다.

\[
\mathcal C_\square(T)=\varnothing
\]

그러므로,

\[
T\sim 4C_\triangle,
\qquad
T\not\sim C_\square
\]

2.7 Octahedral boundary motif

$(O)$-모티프는 다음 데이터를 가지는 원소 $O\in\mathcal M_O$ 이다.

\[
O=
\left(
V_O,
\mathcal P_O,
G_Q[V_O],
\mathcal C_\triangle(O),
\mathcal C_\square(O)
\right)
\]

여기서

\[
V_O =
\left\{
x_1^+,x_1^-,
x_2^+,x_2^-,
x_3^+,x_3^-
\right\}
\subset V
\]

이며 6개의 꼭짓점은 서로 다르다.

마주보는 쌍(opposite-pair) 구조는 다음과 같다.

\[
\mathcal P_O =
\left\{
\{x_1^+,x_1^-\},
\{x_2^+,x_2^-\},
\{x_3^+,x_3^-\}
\right\}
\]

2.8 Octahedral boundary graph

서로 다른 꼭짓점 $(x_i^\epsilon,x_j^\delta\in V_O)$에 대하여,

\[
\{x_i^\epsilon,x_j^\delta\}\in E
\quad\Longleftrightarrow\quad
i\neq j
\]

여기서

\[
i,j\in\{1,2,3\},
\qquad
\epsilon,\delta\in\{+,-\}
\]

따라서 마주보는 쌍은 에지가 아니다.

\[
\{x_i^+,x_i^-\}\notin E
\]

마주보지 않는 모든 쌍은 에지이다.

그러므로

\[
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
\]

이것이 팔면체 경계 그래프이다.

2.9 Octahedral geometric realization

중심점

\[
c\in\mathbb{R}^3
\]

과 정규직교 공간 프레임

\[
(u_1,u_2,u_3)
\]

이 존재하여 다음을 만족한다.

\[
\rho(x_i^\pm) = c\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt{2}}u_i
\]

$(i\neq j)$에 대하여 거리는

\[
|\rho(x_i^\epsilon)-\rho(x_j^\delta)|=\ell_Q
\]

이며, 마주보는 쌍의 거리는

\[
|\rho(x_i^+)-\rho(x_i^-)|=\sqrt{2}\ell_Q
\]

이다. 따라서 $(O)$의 기하학적 실현은 정팔면체 경계 그래프이다.

하지만 채워진 팔면체는 아니다.

\[
O\neq\text{filled octahedron}
\]

2.10 Three orthogonal square boundary cycles of (O)

$(O)$-모티프는 3개의 구별된 정사각형 경계 사이클을 가진다.

\[
C_\square^{(1)} = [x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-]_{D_4}
\]

\[
C_\square^{(2)} = [x_1^+,x_3^+,x_1^-,x_3^-]_{D_4}
\]

\[
C_\square^{(3)} = [x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-]_{D_4}
\]

이들은 각각 다음 평면에 놓여 있다.

\[
c+\operatorname{span}(u_2,u_3)
\]

\[
c+\operatorname{span}(u_1,u_3)
\]

\[
c+\operatorname{span}(u_1,u_2)
\]

따라서 이들은 서로 직교하는 정사각형 경계 사이클이다.

\[
\mathcal C_\square(O) =
\left\{
C_\square^{(1)},C_\square^{(2)},C_\square^{(3)}
\right\}
\subseteq
\mathcal C_\square
\]

그러므로

\[
O\sim 3C_\square^\perp
\]

2.11 Eight triangular boundary cycles of (O)

각 $(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3$에 대하여, 다음을 정의한다.

\[
C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3} = [x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}]_{D_3}
\]

그러면

\[
\mathcal C_\triangle(O) =
\left\{
C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3}
:
(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3
\right\}
\subseteq
\mathcal C_\triangle
\]

따라서

\[
|\mathcal C_\triangle(O)|=8
\]

이며

\[
O\sim 8C_\triangle
\]

이다.

2.12 O-motif incidence decomposition

$(O)$-모티프는 두 가지 경계 사이클 결합(incidence) 분해를 동시에 가진다.

\[
O\sim 3C_\square^\perp
\]

그리고

\[
O\sim 8C_\triangle
\]

그러므로,

\[
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle
\]

이것은 채워진 면이나 채워진 부피 분해가 아니다. 하나의 팔면체 경계 그래프가 3개의 구별된 직교 정사각형 경계 사이클과 8개의 구별된 삼각형 경계 사이클을 지닌다는 것을 의미한다.

2.13 O-square edge incidence proposition

모든 $(O)$-모티프에 대하여,

\[
E(O) = E(C_\square^{(1)}) \sqcup E(C_\square^{(2)}) \sqcup E(C_\square^{(3)})
\]

따라서 3개의 O-정사각형 사이클은 12개의 O-에지를 정확히 한 번씩 덮는다(cover).

동등하게 표현하면,

\[
\forall e\in E(O),
\qquad
\#\{C_\square\in\mathcal C_\square(O)\:e\in E(C_\square)\}=1
\]

이다.

2.14 O-triangle edge incidence proposition

모든 $(O)$-에지에 대하여,

\[
\forall e\in E(O),
\qquad
\#\{C_\triangle\in\mathcal C_\triangle(O)\:e\in E(C_\triangle)\}=2
\]

따라서 팔면체 경계 그래프의 각 에지는 정확히 두 개의 삼각형 경계 사이클에 속한다.

2.15 Motif cycle families

$(T)$-모티프의 경우,

\[
\mathcal C(T)=\mathcal C_\triangle(T)
\]

$(O)$-모티프의 경우,

\[
\mathcal C(O) = \mathcal C_\triangle(O)\cup\mathcal C_\square(O)
\]

따라서, 만약 $(T)$-모티프와 $(O)$-모티프가 구별된 원시 경계 사이클을 공유한다면, 그 공유된 사이클은 반드시 삼각형이어야 한다.

\[
C\in\mathcal C(T)\cap\mathcal C(O)
\quad\Longrightarrow\quad
C\in\mathcal C_\triangle
\]

그러므로 정사각형 경계 사이클은 T/O 사이클 수준의 인터페이스가 될 수 없다.

\[
C_\square\text{ is not a T/O interface cycle}
\]

이 진술은 $(T)$와 $(O)$가 꼭짓점이나 에지를 공유하는 것을 금지하지 않는다. 단지 구별된 원시 경계 사이클을 공유하는 경우만을 제한하는 것이다.

2.16 Vertex-induced motif overlap and non-interpenetration

Qaether motif는 독립적인 filled 3-cell이 아니라 vertex set과 그 induced boundary incidence로 정의된다. 따라서 서로 다른 motif들은 shared Qaether vertices로부터 유도되는 방식으로 vertex, edge, 또는 허용된 primitive cycle을 공유할 수 있다.

motif의 geometric interpenetration 여부만을 판정하기 위해 다음 auxiliary convex carrier를 정의한다.

\[
H(M):=\operatorname{conv}(\rho(V_M)),
\qquad
M\in\mathcal M_T\cup\mathcal M_O.
\]

중요하게도 $H(M)$은 Qaether ontology에 새로운 filled cell을 추가하지 않는다.

\[
H(M)=\text{auxiliary geometric admissibility carrier, not an ontological 3-cell.}
\]

서로 다른 motifs $M,N$의 geometric contact는 shared Qaether vertices에서 induced되어야 한다. 이를 다음 compatibility condition으로 둔다.

\[
H(M)\cap H(N)
=
\operatorname{conv}(\rho(V_M\cap V_N)).
\]

여기서 convention은

\[
\operatorname{conv}(\varnothing):=\varnothing.
\]

이다. 따라서 shared vertex가 전혀 없는 두 motif의 auxiliary carriers는 서로 만나지 않으며 vertex/edge/cycle 공유가 있는 경우 그 geometric intersection은 shared Qaether vertex set이 생성하는 carrier에 의해 결정된다.

또한 서로 다른 motif의 3-dimensional interiors는 겹칠 수 없다.

\[
\operatorname{int}H(M)
\cap
\operatorname{int}H(N)
=
\varnothing.
\]

이를 motif non-interpenetration axiom이라 부른다.

motif overlap과 Part III의 reference order를 동일한 표기로 비교하기 위해, 각 primitive edge $e\in E$에 대한 motif-incidence multiplicities를

\[
N_T(e)
:=
\#\{T\in\mathcal M_T:e\in E(T)\},
\]

\[
N_O(e)
:=
\#\{O\in\mathcal M_O:e\in E(O)\}
\]

로 정의한다. $e=\{v,w\}$를 포함하는 motif의 나머지 vertices는 $v,w$의 finite neighbor sets에서 선택되어야 하고 각 motif의 vertex 수가 유한하므로, 한 edge 주변에서 가능한 motif incidence 역시 유한하다. Part III의 $N_T(e)=N_O(e)=2$는 이 core-defined counting function에 적용되는 Euclidean reference criterion이지 v2.5의 전역 공리가 아니다.

따라서 v2.5의 motif overlap 원리는 다음과 같다.

\[
\text{shared vertex/edge/allowed cycle incidence is permitted,}
\]

\[
\text{but interior interpenetration is forbidden.}
\]

예를 들어 $T/O$가 하나의 primitive triangular cycle을 공유하는 경우 auxiliary hull들의 교집합은 그 세 shared realization points가 만드는 planar triangular carrier가 될 수 있다. 이 carrier는 overlap admissibility를 판정하기 위한 기하학적 집합일 뿐 Qaether ontology에 filled triangular face가 존재한다는 뜻이 아니다.

\[
\text{auxiliary carrier intersection}
\neq
\text{primitive filled face or volume}.
\]

Part III. T/O Euclidean Reference Geometry and Local-Order Criteria

3.1 Status and assumptions of Part III

Part III은 Qaether boundary-graph ontology 자체의 내부 정리가 아니라, 별도로 도입된 Euclidean reference layer이다.

\[
\text{Part III is a reference complex, not an ontological 3-cell layer.}
\]

여기서만 다음과 같은 보조 참조 상황을 고려한다.

• edge length가 모두 $\ell_Q$인 regular tetrahedral cells와 regular octahedral cells
• face-to-face 결합
• 내부 edge 주변이 manifold-like하게 하나의 완전한 $2\pi$ neighborhood를 형성
• 내부 vertex의 link가 $S^2$의 finite regular polygonal CW cellulation을 형성

이 가정 아래에서 얻은 정리를 Qaether motif network의 local-order benchmark로 사용한다.

\[
\text{reference-complex theorem}
\Longrightarrow
\text{Qaether admissibility / classification criterion}
\]

Qaether의 $T,O$ 자체는 여전히 filled 3-cells가 아니다.

3.2 Tetrahedron-only Euclidean obstruction

regular tetrahedron의 interior dihedral angle은

\[
\alpha_{\mathrm{tet}}
=
\arccos\left(\frac13\right)
\]

이다.

$\alpha_{\mathrm{tet}}/\pi$는 유리수가 아니다. 이를 짧게 확인할 수 있다. 만약 $\alpha_{\mathrm{tet}}/\pi\in\mathbb Q$라면 $z=e^{i\alpha_{\mathrm{tet}}}$는 root of unity이므로 algebraic integer이다. 그러면

\[
z+z^{-1}
=
2\cos\alpha_{\mathrm{tet}}
=
\frac23
\]

역시 algebraic integer여야 한다. 그러나 rational algebraic integer는 정수여야 하므로 $2/3$은 algebraic integer일 수 없다. 모순이다. 따라서

\[
\alpha_{\mathrm{tet}}/\pi\notin\mathbb Q
\]

따라서 어떤 정수 $m\ge1$에 대해서도

\[
m\alpha_{\mathrm{tet}}=2\pi
\]

가 성립하지 않는다.

그러므로 regular tetrahedra만으로 모든 내부 edge에서 정확한 $2\pi$ 각도 닫힘을 갖는 defect-free face-to-face Euclidean 3-complex는 만들 수 없다.

Qaether reference interpretation:

\[
T\text{-only regular Euclidean edge closure is obstructed.}
\]

이 진술은 boundary graph만으로부터의 curvature theorem이 아니라 Euclidean reference geometry에 대한 obstruction이다.

3.3 Mixed T/O edge-closure theorem

regular octahedron의 interior dihedral angle은

\[
\alpha_{\mathrm{oct}}
=
\arccos\left(-\frac13\right)
=
\pi-\alpha_{\mathrm{tet}}
\]

하나의 내부 edge 주변에 tetrahedron이 $m$개, octahedron이 $n$개 결합한다고 하자. 완전한 Euclidean edge closure는

\[
m\alpha_{\mathrm{tet}}
+n\alpha_{\mathrm{oct}}
=2\pi
\]

를 요구한다.

$\alpha_{\mathrm{oct}}=\pi-\alpha_{\mathrm{tet}}$를 대입하면

\[
(m-n)\alpha_{\mathrm{tet}}
=(2-n)\pi
\]

만약 $m\neq n$이면 $\alpha_{\mathrm{tet}}/\pi$가 유리수가 되어 모순이다. 따라서 $m=n$이고, 다시 식에 대입하면

\[
n\pi=2\pi
\]

그러므로

\[
m=n=2
\]

즉 위의 reference assumptions 아래에서 모든 defect-free 내부 edge는 정확히

\[
2T+2O
\]

의 incidence를 가진다.

Qaether에서는 이를 다음의 이상적 edge-count criterion으로 사용한다.

\[
N_T(e)=2,
\qquad
N_O(e)=2
\]

3.4 Cyclic edge types: TOTO and TTOO

$2T+2O$라는 multiset을 하나의 edge 주위에 cyclically 배치하면, 회전과 역순을 같은 cyclic type으로 볼 때 두 가지 adjacency type이 존재한다.

Alternating type:

\[
T-O-T-O
\]

이를 $TOTO$라 한다.

Clustered type:

\[
T-T-O-O
\]

이를 $TTOO$라 한다.

중요하게도,

\[
TTOO\text{ is not a Euclidean closure defect by itself.}
\]

$TTOO$도 $2T+2O$ 각도 닫힘을 만족한다. 따라서 geometrically defect-free T/O honeycomb에서도 clustered order가 나타날 수 있다.

Qaether v2.5에서는 다음처럼 용어를 분리한다.

\[
TOTO=
\text{alternating reference order}
\]

\[
TTOO=
\text{clustered non-alternating reference order}
\]

\[
\text{non-}2T+2O=
\text{Euclidean edge-closure defect relative to Part III}
\]

만약 이후의 Qaether dynamics가 TOTO를 특별히 선호하도록 정의된다면, 그때에 한해 TTOO를

\[
\text{alternation defect relative to a chosen TOTO-order functional}
\]

이라고 부를 수 있다. 이는 v2.5의 기하학적 정리가 아니라 향후 동역학적 선택이다.

3.5 Vertex-link reference structure

filled T/O reference complex의 내부 vertex $v$에 대해 link $\operatorname{Lk}(v)$를 취한다.

reference tetrahedron 하나는 link에 triangular face 하나를 기여한다.

\[
T\longrightarrow\triangle
\]

reference octahedron 하나는 square face 하나를 기여한다.

\[
O\longrightarrow\square
\]

따라서 $\operatorname{Lk}(v)$는 triangle-square spherical cellulation이다.

여기서 link face는 Qaether primitive filled face가 아니다. 이것은 Part III의 auxiliary reference complex에서만 나타나는 spherical face이다.

3.6 Reference local-counting theorem

모든 incident interior edge가 $2T+2O$ closure를 만족하고 $\operatorname{Lk}(v)$가 닫힌 구면 cellulation이라고 하자.

link에서

\[
V_L=f_0,
\qquad
E_L=f_1,
\qquad
t=f_2^\triangle,
\qquad
o=f_2^\square
\]

라 하자.

원래 complex의 하나의 edge는 link의 하나의 vertex에 대응한다. $2T+2O$ 조건 때문에 각 link vertex에는 triangle 두 개와 square 두 개가 incident한다. 따라서

\[
3t=2V_L
\]

및

\[
4o=2V_L
\]

이다.

각 link vertex의 valence는 $4$이므로

\[
2E_L=4V_L
\quad\Longrightarrow\quad
E_L=2V_L.
\]

구면 Euler relation

\[
V_L-E_L+t+o=2
\]

를 사용하면

\[
V_L-2V_L+\frac{2V_L}{3}+\frac{V_L}{2}=2,
\]

따라서

\[
V_L=12.
\]

그러므로

\[
E_L=24,
\qquad
t=8,
\qquad
o=6.
\]

즉

\[
(f_0,f_1,f_2)=(12,24,14)
\]

이고

\[
8\text{ triangles}+6\text{ squares}
\]

이다.

따라서 reference complex의 내부 vertex는

\[
t_v=8,
\qquad
o_v=6
\]

의 local cell count를 가진다.

중요한 caveat:

\[
(12,24,14)\text{ and }8\triangle+6\square
\text{ do not by themselves determine a unique link combinatorics.}
\]

즉 이 counting만으로 cuboctahedron을 자동 결론내리지는 않는다.

3.7 Cuboctahedral alternating reference order

Qaether v2.5은 standard tetrahedral-octahedral honeycomb의 vertex figure인 cuboctahedron을 특별한 alternating reference state로 선택할 수 있다.

이를 위해 단순 counting보다 강한 조건을 사용한다.

\[
\operatorname{Lk}(v)\cong\Sigma_{\mathrm{co}}
\]

where $\Sigma_{\mathrm{co}}$ is the cuboctahedral cellulation with

\[
12\text{ vertices},
\quad
24\text{ edges},
\quad
8\text{ triangular faces},
\quad
6\text{ square faces}.
\]

그 각 vertex에서 face sequence는 alternating

\[
3.4.3.4
\]

이다. 이는 원래 3D edge 주위의 $TOTO$ cyclic order에 대응한다.

그러나 v2.5에서는 다음의 논리적 함의를 무리하게 사용하지 않는다.

\[
TOTO\text{ at each edge}
\not\equiv
\text{a proved uniqueness theorem for the global link}
\]

대신 cuboctahedral local order를 검출할 때는 직접

\[
\operatorname{Lk}(v)\cong\Sigma_{\mathrm{co}}
\]

를 요구한다.

따라서 cuboctahedral state의 정확한 지위는

\[
\text{selected ideal alternating reference figure}
\]

이다.

3.8 Role of Part III in Qaether v2.5

Part III은 다음의 서로 다른 diagnostics를 제공한다.

\[
2T+2O\text{ edge-count test}
\]

\[
TOTO/TTOO\text{ cyclic-order classification}
\]

\[
\operatorname{Lk}(v)\cong\Sigma_{\mathrm{co}}
\text{ cuboctahedral-reference test}
\]

\[
\text{reference-complex defect classification}
\]

이 네 항목은 같은 명제가 아니다.

특히

\[
TTOO\neq\text{automatic geometric defect}
\]

이며,

\[
8T+6O\neq\text{automatic cuboctahedron}
\]

이다.

정확한 최종 지위는 다음과 같다.

\[
\text{T/O Euclidean geometry is an external local-order reference model for Qaether.}
\]

Part IV. Primitive Boundary Cycles

4.1 Cycle principle

원시 사이클은 경계 사이클이며 채워진 면이 아니다.

\[
C_\triangle,C_\square=\text{boundary cycles (경계 사이클)}
\]

\[
C_\triangle,C_\square\neq\text{filled faces (채워진 면)}
\]

원시 사이클은 그래프의 모든 사이클을 의미하지 않는다. 그것은 선택된 물리적 경계 사이클이다.

\[
\mathcal C_\triangle,\mathcal C_\square
\text{ are distinguished subfamilies of graph cycles.}
\]

여기서 primitive cycle을 ``2D boundary closure''라고 부를 때의 2D는 intrinsic filled dimension이 아니라 planar realization condition을 가리킨다.

\[
\dim\operatorname{aff}\rho(V(C))=2
\]

가 primitive triangular/square cycle의 planar carrier condition이며 그 affine plane 안의 enclosed region 자체는 primitive structure가 아니다.

4.2 Unoriented boundary support

경계 결합 수준에서 원시 사이클은 방향이 없다(unoriented).

$(n)$-사이클 지지체(support)는 다음과 같다.

\[
C_n=[v_0,\dots,v_{n-1}]_{D_n}
\]

순환 회전(Cyclic rotations)은 동일하게 취급된다.

\[
[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}] = [v_1,v_2,\dots,v_0]
\]

역순(Reversal) 또한 경계 지지체 수준에서 동일하게 취급된다.

\[
[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}] = [v_0,v_{n-1},\dots,v_1]
\]

따라서 경계 결합은 $(D_n)$-몫공간(quotient)을 사용한다.

\[
\text{boundary support level}=D_n\text{-quotient}
\]

4.3 Primitive triangular boundary cycle

원시 삼각형 경계 사이클은 다음과 같다.

\[
C_\triangle=[v_0,v_1,v_2]_{D_3}
\]

여기서 $(v_0,v_1,v_2)$는 서로 다르다.

그 에지 집합은 다음과 같다.

\[
E(C_\triangle) =
\left\{
\{v_0,v_1\},
\{v_1,v_2\},
\{v_2,v_0\}
\right\}
\]

그리고

\[
E(C_\triangle)\subseteq E
\]

기하학적 실현은 비퇴화되어야 한다.

\[
\dim\operatorname{aff}
\{\rho(v_0),\rho(v_1),\rho(v_2)\}
=2
\]

모든 에지의 길이는 $(\ell_Q)$이므로, $(C_\triangle)$는 정삼각형 경계 사이클이다.

하지만 채워진 삼각형 면은 아니다.

\[
C_\triangle\neq\text{filled triangular face}
\]

4.4 Primitive square boundary cycle

원시 정사각형 경계 사이클은 다음과 같다.

\[
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
\]

여기서 $(v_0,v_1,v_2,v_3)$는 서로 다르다.

그 에지 집합은 다음과 같다.

\[
E(C_\square) =
\left\{
\{v_0,v_1\},
\{v_1,v_2\},
\{v_2,v_3\},
\{v_3,v_0\}
\right\}
\]

그리고

\[
E(C_\square)\subseteq E
\]

4.5 Chordless square condition

원시 정사각형 경계 사이클은 graph-theoretically chordless이어야 한다.

\[
\{v_0,v_2\}\notin E
\]

\[
\{v_1,v_3\}\notin E
\]

따라서 원시 정사각형은 대각선 edge에 의해 두 개의 primitive triangle으로 분해되지 않는다.

다만 v2.5의 전체 square definition에서는 이 조건이 4.6의 diagonal-length condition과 1.7의 bond-length implication으로부터 이미 따라온다. 실제로

\[
|\rho(v_0)-\rho(v_2)|
=|\rho(v_1)-\rho(v_3)|
=\sqrt2\,\ell_Q>\ell_Q
\]

이므로, edge가 존재하면 반드시 길이가 $\ell_Q$여야 한다는 공리와 양립할 수 없다. 따라서 chordless condition은 논리적으로 redundant하지만 graph-level primitive-square criterion을 명시하기 위해 유지한다.

4.6 Genuine planar square condition

네 점은 평면상에 있어야 하며 비퇴화되어야 한다.

\[
\dim\operatorname{aff}
\{\rho(v_0),\rho(v_1),\rho(v_2),\rho(v_3)\}
=2
\]

평행사변형 중심 조건은 다음과 같다.

\[
\rho(v_0)+\rho(v_2) = \rho(v_1)+\rho(v_3)
\]

대각선 길이 조건은 다음과 같다.

\[
|\rho(v_0)-\rho(v_2)| = |\rho(v_1)-\rho(v_3)| = \sqrt{2}\ell_Q
\]

네 경계 에지는 접촉 척도 공리에 의해 길이 $(\ell_Q)$를 가진다.

따라서 $(C_\square)$는 완전한 평면형의 현 없는 정사각형 경계 사이클(genuine planar chordless square boundary cycle)이다.

하지만 채워진 정사각형 면은 아니다.

\[
C_\square\neq\text{filled square face}
\]

4.7 Square cycles belong to the O-sector

선택된 모든 원시 정사각형 경계 사이클은 적어도 하나의 $(O)$-모티프에 속한다.

\[
\forall C_\square\in\mathcal C_\square,
\quad
\exists O\in\mathcal M_O
\quad
\text{such that}
\quad
C_\square\in\mathcal C_\square(O)
\]

이 공리는 $(\mathcal C_\square)$ 안의 선택된 원시 정사각형 사이클에 적용되는 것이지, 부수적으로 생기는 모든 그래프 4-사이클에 적용되는 것이 아니다.

따라서,

\[
C_\square\text{ belongs to the O-sector (정사각형 사이클은 O-구역에 속한다)}
\]

반면에,

\[
\mathcal C_\square(T)=\varnothing
\]

이다.

4.8 Free-standing primitive triangular cycles

v2.5은 모든 primitive triangle이 반드시 $T$ 또는 $O$ motif에서 생성되어야 한다고 요구하지 않는다.

\[
C_\triangle\in\mathcal C_\triangle
\not\Longrightarrow
\exists M\in\mathcal M_T\cup\mathcal M_O:
C_\triangle\in\mathcal C_\triangle(M).
\]

즉 free-standing primitive triangular boundary cycle을 허용한다.

각 $C\in\mathcal C_\triangle$에 대해 motif-incidence sets를

\[
I_T(C)
:=
\{T\in\mathcal M_T:C\in\mathcal C_\triangle(T)\},
\]

\[
I_O(C)
:=
\{O\in\mathcal M_O:C\in\mathcal C_\triangle(O)\}
\]

로 정의한다. 그러면 free-standing triangle은

\[
I_T(C)=I_O(C)=\varnothing
\]

인 primitive triangle이다.

이 자유도는 square sector와 의도적으로 비대칭이다. primitive square는 4.7에 의해 반드시 적어도 하나의 $O$-motif에 속하지만 primitive triangle은 standalone boundary closure로 존재할 수 있다.

4.9 Triangle cycles as T/O interfaces

$(T)$-모티프와 $(O)$-모티프는 구별된 원시 삼각형 경계 사이클을 공유할 수 있다.

\[
C_\triangle\in\mathcal C(T)\cap\mathcal C(O)
\]

이러한 경우, $(C_\triangle)$는 T/O 사이클 수준의 인터페이스이다.

하지만 정사각형 사이클은 T/O 사이클 수준의 인터페이스가 아니다.

\[
\mathcal C_\square\cap\mathcal C(T)\cap\mathcal C(O)=\varnothing
\]

4.10 Bond support axiom and equivalent form

모든 primitive bond는 적어도 하나의 selected primitive boundary cycle에 의해 지지되어야 한다.

\[
\forall e\in E,
\quad
\exists C\in
\mathcal C_\triangle\cup\mathcal C_\square
\quad\text{such that}\quad
e\in E(C).
\]

여기서

\[
E(C_\triangle)=\text{three boundary edges of }C_\triangle
\]

이고

\[
E(C_\square)=\text{four boundary edges of }C_\square.
\]

이 형태는 이전의

\[
C_\triangle\sqcup C_\square\sqcup\mathcal M_T\sqcup\mathcal M_O
\]

지원 조건과 동등하다. 그 이유는 motif의 모든 edge가 이미 motif의 distinguished cycle들에 포함되기 때문이다.

구체적으로 $T$의 각 edge는 정확히 두 개의 $T$-triangle에 속하고, $O$의 각 edge는 정확히 두 개의 $O$-triangle과 정확히 하나의 distinguished $O$-square에 속한다.

따라서

\[
\text{motif support}\Longrightarrow\text{selected cycle support}.
\]

이 공리는 $E$ 안에 아무 boundary structure에도 참여하지 않는 고립된 primitive bond가 존재하는 것을 금지한다.

Part V. Quaternionic Vertex State and Flat Induced Holonomy

5.1 Quaternionic vertex state

각 Qaether 꼭짓점은 단위 사원수 상태(unit quaternionic state)를 지닌다.

\[
q_v\in SU(2)\cong\mathbb H_1
\]

동등하게,

\[
q\:V\to SU(2)
\]

값 $(q_v)$는 내부 꼭짓점 상태이다.

이 단계에서, $(q_v)$ 자체만으로는 아직 스핀, 전하 또는 곡률을 정의하지 않는다.

5.2 Oriented edge set

그래프 에지는 방향이 없지만, 상대 위상을 정의하기 위해서는 방향을 가진 에지가 필요하다.

다음을 정의한다.

\[
E^{\mathrm{or}} = \{(v,w)\in V\times V:\{v,w\}\in E\}
\]

원소 $(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$는 방향이 선택된 에지이다.

5.3 Relative quaternionic phase

$(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$에 대해 다음을 정의한다.

\[
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
\]

그러면

\[
h_{wv}=h_{vw}^{-1}
\]

이고

\[
h_{vw}\in SU(2)
\]

이다.

5.4 Edge phases are not independent link variables

상대 위상 $h_{vw}$는 꼭짓점 상태로부터 유도된다.

\[
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
\]

따라서 이것은 독립적인 링크 변수가 아니다.

\[
h_{vw}\text{ is not an independent gauge-link variable.}
\]

이 점이 독립적인 에지 변수를 가지는 격자 게이지 이론(lattice gauge theory)과 Qaether v2.5을 구분 짓는다.

5.5 Closed loop holonomy

다음을 닫힌 그래프 루프라고 하자.

\[
C=(v_0,v_1,\dots,v_n=v_0)
\]

여기서 모든 $(i)$에 대해

\[
\{v_i,v_{i+1}\}\in E
\]

를 만족한다.

에지에서 유도된 루프 홀로노미(edge-induced loop holonomy)를 다음과 같이 정의한다.

\[
h_C = h_{v_0v_1} h_{v_1v_2} \cdots h_{v_{n-1}v_0}
\]

다음을 사용하면,

\[
h_{v_iv_{i+1}} = q_{v_i}^{-1}q_{v_{i+1}},
\]

다음과 같이 연쇄 소거되어 상쇄된다.

\[
h_C = q_{v_0}^{-1}q_{v_1} q_{v_1}^{-1}q_{v_2} \cdots q_{v_{n-1}}^{-1}q_{v_0} = 1_{SU(2)}
\]

따라서 모든 닫힌 그래프 루프에 대해,

\[
h_C=1_{SU(2)}
\]

이다.

5.6 Flat vertex-induced connection

유도된 $SU(2)$ 상대 위상 층은 flat하다.

\[
\forall C\text{ closed graph loop},
\qquad
h_C=1_{SU(2)}.
\]

따라서 더 정확한 표현은

\[
\text{the vertex-induced }SU(2)\text{ discrete connection has zero holonomy curvature.}
\]

이다.

이 명제는 graph-theoretic curvature, metric curvature, motif frustration, 또는 향후 구조적 parity가 모두 0이라는 뜻이 아니다. 오직

\[
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
\]

로 정의된 induced connection의 loop holonomy가 trivial하다는 뜻이다.

5.7 Ordered vertex-cycle product and noncommutativity

edge holonomy와 vertex product를 엄밀히 구분하기 위해, vertex product는 unoriented $D_n$-support $C$ 자체 위에 직접 정의하지 않는다.

먼저 하나의 ordered cyclic representative를 잡는다.

\[
\widetilde C=(v_0,v_1,\dots,v_{n-1}).
\]

이에 대해 ordered vertex-cycle product를

\[
P_{\widetilde C}
:=
q_{v_0}q_{v_1}\cdots q_{v_{n-1}}
\in SU(2)
\]

로 정의할 수 있다.

이 양은 edge holonomy가 아니다.

\[
P_{\widetilde C}\neq h_C
\quad\text{in general.}
\]

$SU(2)$는 비가환이므로 시작 vertex를 바꾸면 product 자체는 일반적으로 변한다. 한 번의 cyclic shift

\[
\sigma\widetilde C=(v_1,\dots,v_{n-1},v_0)
\]

에 대해

\[
P_{\sigma\widetilde C}
=
q_{v_0}^{-1}P_{\widetilde C}q_{v_0}.
\]

따라서 cyclic shift에 대해 자연스럽게 well-defined한 것은 product 자체가 아니라 그 conjugacy data이다.

예를 들어

\[
[P_{\widetilde C}]_{\mathrm{conj}}
\]

또는 fundamental representation에서

\[
\operatorname{Tr}(P_{\widetilde C})
\]

는 시작점 선택에 무관하다.

반면 reversal

\[
\widetilde C^{\mathrm{rev}}
=(v_0,v_{n-1},\dots,v_1)
\]

에 대해서는 일반적으로

\[
P_{\widetilde C^{\mathrm{rev}}}
\neq
P_{\widetilde C},
\qquad
P_{\widetilde C^{\mathrm{rev}}}
\neq
P_{\widetilde C}^{-1}
\]

이다.

따라서 unoriented boundary support $[v_0,\dots,v_{n-1}]_{D_n}$ 위에

\[
\Pi_C=\prod q_v
\]

를 아무 추가 구조 없이 정의하는 것은 well-defined하지 않다.

향후 triangular parity 같은 양을 정의하려면 최소한 다음 중 하나가 추가되어야 한다.

- an oriented/ordered lift
- a motif frame selecting an order
- a conjugacy-invariant observable
- a central-value condition with an explicit reversal law

특히

\[
P_{\widetilde C}=\pm1
\]

이면 $\pm1$이 $SU(2)$의 중심이므로 cyclic starting-point change에는 invariant이다. 그러나 reversal invariance는 별도로 증명하거나 공리화해야 한다.

5.8 Vertex product versus flat edge holonomy

ordered vertex-cycle product가 어떤 frame에서

\[
P_{\widetilde C}=-1
\]

을 만족하더라도,

\[
h_C=1
\]

이라는 flat-holonomy theorem과 모순되지 않는다.

그 이유는 두 양의 정의가 다르기 때문이다.

\[
h_C
=
\prod_{\text{oriented edges}}q_v^{-1}q_w
\]

는 telescoping product이고,

\[
P_{\widetilde C}
=
\prod_{\text{ordered vertices}}q_v
\]

는 비가환 ordered product이다.

따라서

\[
P_{\widetilde C}\text{ data and }h_C\text{ data belong to different structural levels.}
\]

5.9 Role and scope of the $SU(2)$ vertex state

$SU(2)$ vertex state는 향후 구조를 구축하기 위한 내부 quaternionic layer를 제공한다.

가능한 future constructions에는 다음이 포함될 수 있다.

\[
\text{spinor-like sign structure}
\]

\[
\text{frame-dependent central parity}
\]

\[
\text{square phase ordering}
\]

\[
\text{motif compatibility defects}
\]

그러나 v2.5에서 $q$-layer로부터 실제로 유도된 핵심 정리는 다음뿐이다.

\[
\forall C\text{ closed},
\qquad
h_C=1_{SU(2)}.
\]

즉 v2.5은 아직 $q_v$만으로 spin, electric charge, color, triangular parity, 또는 gauge curvature를 정의하지 않는다.

Part VI. $C_4$-Oriented Square Sector

6.1 Motivation

경계 결합 수준에서 정사각형 지지체(support)는 방향이 없다.

\[
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
\]

이것은 순환 회전과 역순이 동일하게 취급된다는 뜻이다.

하지만 차후 도입될 카이랄, 극성, 와인딩, 또는 켤레 같은 구조들은 방향성을 요구한다.

따라서 v2.5은 방향을 가진 정사각형 이중 덮개(double cover)를 도입한다.

6.2 Oriented square lift

정사각형 지지체

\[
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
\]

에 대한 방향을 가진 $(C_4)$-올림(lift)은 다음과 같다.

\[
\vec C_\square = \langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
\]

순환 회전은 동일시된다.

\[
\langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4} = \langle v_1,v_2,v_3,v_0\rangle_{C_4}
\]

\[
= \langle v_2,v_3,v_0,v_1\rangle_{C_4} = \langle v_3,v_0,v_1,v_2\rangle_{C_4}
\]

역순(Reversal)은 동일시되지 않는다.

\[
\langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
\neq
\langle v_0,v_3,v_2,v_1\rangle_{C_4}
\]

6.3 Reversal

역순된 방향 정사각형을 다음과 같이 정의한다.

\[
-\vec C_\square
:=
\langle v_0,v_3,v_2,v_1\rangle_{C_4}
\]

그러면

\[
-(-\vec C_\square)=\vec C_\square
\]

따라서 각 방향 없는 정사각형 지지체는 정확히 두 개의 방향을 가진 올림을 가진다.

\[
\operatorname{Or}(C_\square) = \{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
\]

6.4 Oriented square double cover

$\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$와 $\pi_\square$는 새로운 independent degrees of freedom가 아니다. 이들은 unoriented support family $\mathcal C_\square$와 subgroup relation $C_4<D_4$로부터 canonical하게 구성된다.

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\text{ and }
\pi_\square
\text{ are canonical derived components determined by }
\mathcal C_\square.
\]

전체 방향 정사각형 구역(sector)은 다음과 같다.

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square) = \bigsqcup_{C_\square\in\mathcal C_\square} \operatorname{Or}(C_\square)
\]

방향성을 잊는 사영을 적용하면 다음과 같다.

\[
\pi_\square:
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\to
\mathcal C_\square
\]

이때

\[
\pi_\square(\vec C_\square) = \pi_\square(-\vec C_\square) = C_\square
\]

이므로 다음이 성립한다.

\[
\pi_\square^{-1}(C_\square) = \{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
\]

6.5 $C_4$ rotations as equivalent descriptions

방향 정사각형 구역에서, $(C_4)$ 회전은 동일한 방향 정사각형 올림에 대한 동등한 설명이다.

\[
C_4\text{ rotations preserve the oriented square lift.}
\]
($C_4$ 회전은 방향 정사각형 올림을 보존한다.)

이것은 방향을 보존하는 재명명(relabeling) 동치이다.

$SU(2)$ 게이지 이론과의 혼동을 피하기 위해, 이를 독립적인 게이지 대칭으로 부르지 않는 것이 좋다. 이는 단순히 동일한 방향 정사각형을 따라 다른 시작 꼭짓점을 식별하는 것일 뿐이다.

6.6 Reversal as a structural involution

방향 정사각형 sector에서 reversal은 quotient로 제거되지 않는다.

\[
\iota_\square:
\vec C_\square\mapsto-\vec C_\square
\]

그리고

\[
\iota_\square^2=\mathrm{id}.
\]

따라서 v2.5에서 엄밀히 정의된 것은 orientation-reversal involution이다.

\[
\text{reversal}=
\text{structural conjugation involution}
\]

"physical conjugation"이라는 더 강한 해석은 아직 자동으로 따라오지 않는다. 향후 observable $X$가 예를 들어

\[
X(-\vec C_\square)=-X(\vec C_\square)
\]

또는 그에 상응하는 conjugation law를 만족하도록 정의될 때, 그때 reversal에 물리적 conjugation 의미를 부여할 수 있다.

따라서 현재 단계의 정확한 원리는

\[
\text{boundary incidence is unoriented, while the square structural lift retains orientation.}
\]

6.7 $D_4$ support versus $C_4$ oriented sector

두 가지 뚜렷한 수준이 존재한다.

경계 지지체 수준(Boundary support level):

\[
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
\]

여기서는 회전과 반사/역순이 모두 동일시된다.

방향 구조 수준(Oriented structural level):

\[
\vec C_\square = \langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
\]

여기서는 회전만 동일시된다. 역순은 구분되어 남는다.

따라서,

\[
\text{boundary support}\:D_4\text{-quotient (경계 지지체: }D_4\text{-몫)}
\]

\[
\text{oriented square sector}\:C_4\text{-quotient (방향 정사각형 구역: }C_4\text{-몫)}
\]

6.8 Distinct-label counting caveat

만약 4개의 레이블이 모두 다르고 정사각형 위에서 자유롭게 순열이 가능하다면, 전체 $(D_4)$-몫은 다음 클래스 개수를 준다.

\[
\frac{4!}{8}=3
\]

하지만 방향성을 가진 $(C_4)$-몫은 다음 클래스 개수를 준다.

\[
\frac{4!}{4}=6
\]

따라서,

\[
D_4\text{ three-class counting applies only when reflections are quotiented.}
\]
($D_4$의 3-클래스 카운팅은 반사가 몫으로 처리될 때만 적용된다.)

$(C_4)$ 방향 정사각형 구역에서 역순은 몫으로 처리되지 않으며 구조적 reversal involution으로 남는다.

이 카운팅은 4개의 구별되는 레이블과 자유 대칭 작용을 가정한다. 레이블이 반복되거나 추가적인 제약이 부과되면 카운팅이 달라질 수 있다.

6.9 Preparation for later square polarity

v2.5은 아직 정사각형 극성 $(n_\square)$를 정의하지 않는다. 그러한 극성이 나중에 정의될 수 있도록 정의역을 준비할 뿐이다.

나중에 다음과 같이 정의될 수 있다.

\[
n_\square:
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\to
\{-1,0,+1\}
\]

역순 법칙(reversal law)은 다음과 같다.

\[
n_\square(-\vec C_\square) = -n_\square(\vec C_\square)
\]

하지만 이것은 향후 구조적 전하 구역에 속하며 현재의 v2.5 핵심에는 속하지 않는다.

6.10 Final principle of Part VI

Part VI의 중심 원리는 다음과 같다:

\[
\text{Boundary incidence is unoriented.}
\]
(경계 결합은 방향이 없다.)

\[
\text{Square structural polarity/chirality sector is oriented.}
\]
(정사각형 구조적 극성/카이랄 구역은 방향을 가진다.)

따라서 동일한 정사각형 지지체 $(C_\square)$는 하나의 경계 결합 정체성을 가지지만, 두 개의 방향을 가진 구조적 올림(lifts)을 지닌다.

\[
C_\square
\quad\leadsto\quad
\{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
\]

이를 통해 v2.5은 향후 polarity/chirality observable을 정의할 수 있는 방향 구조를 준비하면서 동시에 boundary-graph ontology를 보존한다.

Part VII. Logical Closure and Consistency Status

7.1 Primitive and canonical-derived data

Qaether v2.5의 independent primitive mathematical data는

\[
\mathcal D_{\mathrm{prim}}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
\]

이다.

여기에 simple-graph condition, exclusion/contact condition, motif definitions, cycle definitions, O-sector square condition, free-triangle permission, bond-support condition, 그리고 motif non-interpenetration condition이 붙는다.

한편

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\quad
\pi_\square
\]

는 $\mathcal C_\square$로부터 canonical하게 유도되는 components이다. 따라서 full displayed configuration은 편의상

\[
\mathcal Q_{2.5}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
\]

로 쓰되 $\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$와 $\pi_\square$를 독립 자유도로 세지 않는다.

7.2 Derived propositions inside the v2.5 core

다음 명제들은 별도의 Qaether 물리 가정이 아니라, v2.5의 정의와 공리 및 표준적인 유클리드 기하·그래프 이론의 결과로부터 유도된다.

T-motif cycle structure

모든 $T\in\mathcal M_T$에 대하여,

\[
G_Q[V_T]\cong K_4
\]

이고 $\mathcal C_\triangle(T)$는 $V_T$의 세 꼭짓점 부분집합들에 대응하는 네 개의 삼각형 경계 사이클로 정의되므로,

\[
|\mathcal C_\triangle(T)|=4
\]

이다.

또한 $K_4$의 모든 $4$-cycle에는 chord가 존재하므로,

\[
\mathcal C_\square(T)=\varnothing.
\]

따라서

\[
T\sim4C_\triangle
\]

이다.

O-motif cycle structure

모든 $O\in\mathcal M_O$에 대하여,

\[
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}.
\]

세 opposite pair 각각에서 하나의 꼭짓점을 선택하면 하나의 distinguished triangular boundary cycle이 결정되므로,

\[
|\mathcal C_\triangle(O)|=2^3=8.
\]

또한 $K_{2,2,2}$에서 두 part를 선택하여 얻는 세 $K_{2,2}$ subgraph가 정확히 세 개의 primitive chordless square support를 결정하므로,

\[
|\mathcal C_\square(O)|=3.
\]

따라서

\[
O\sim3C_\square^\perp\sim8C_\triangle.
\]

O-motif edge incidence

세 distinguished square cycles는 $O$-motif의 12개 edge를 서로 중복 없이 정확히 한 번씩 덮는다.

\[
E(O)
=
\bigsqcup_{i=1}^{3}
E(C_\square^{(i)}).
\]

따라서 모든 $e\in E(O)$에 대하여,

\[
\#\left\{
C_\square\in\mathcal C_\square(O)
:
e\in E(C_\square)
\right\}
=1.
\]

또한 모든 $O$-edge는 정확히 두 개의 distinguished triangular boundary cycles에 속하므로,

\[
\#\left\{
C_\triangle\in\mathcal C_\triangle(O)
:
e\in E(C_\triangle)
\right\}
=2.
\]

Geometric local finiteness and countability

uniform exclusion condition

\[
\ell_Q>0,
\qquad
v\neq w
\Longrightarrow
|\rho(v)-\rho(w)|\ge\ell_Q
\]

으로부터 $\rho(V)\subset\mathbb R^3$는 uniformly discrete하다.

따라서 모든 compact $K\Subset\mathbb R^3$에 대하여,

\[
|\rho^{-1}(K)|<\infty.
\]

즉 geometric realization은 locally finite이다.

또한 $\mathbb R^3$는 countably many compact bounded regions로 덮을 수 있으므로,

\[
|V|\le\aleph_0.
\]

Vertex degree bound

uniform exclusion condition과 primitive contact condition

\[
\{v,w\}\in E
\Longrightarrow
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
\]

을 함께 사용하면, 한 vertex $v$의 모든 neighbor는 중심 $\rho(v)$에서 거리 $\ell_Q$에 있으며 서로 간 거리도 최소 $\ell_Q$이다.

따라서 3차원 kissing-number bound에 의해,

\[
\forall v\in V,
\qquad
\deg(v)\le12.
\]

Flat vertex-induced $SU(2)$ holonomy

모든 oriented edge $(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$에 대하여

\[
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
\]

이므로, 임의의 closed graph loop

\[
C=(v_0,v_1,\ldots,v_n=v_0)
\]

에 대해

\[
h_C
=
h_{v_0v_1}
h_{v_1v_2}
\cdots
h_{v_{n-1}v_0}
\]

는 연쇄적으로 소거된다.

따라서

\[
h_C=1_{SU(2)}
\qquad
\text{for every closed graph loop }C.
\]

즉 vertex-induced relative-phase connection은 flat하다.

Canonical oriented-square double cover

모든 primitive square support

\[
C_\square\in\mathcal C_\square
\]

는 네 개의 서로 다른 꼭짓점을 가지며 boundary-support level에서는 $D_4$-quotient로 정의된다.

방향을 보존하는 cyclic relabeling만 quotient하면 정확히 두 개의 $C_4$-oriented lifts가 남는다.

따라서

\[
\operatorname{Or}(C_\square)
=
\{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
\]

이고

\[
\left|
\pi_\square^{-1}(C_\square)
\right|
=2.
\]

전체적으로,

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
=
\bigsqcup_{C_\square\in\mathcal C_\square}
\operatorname{Or}(C_\square)
\]

와

\[
\pi_\square:
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\to
\mathcal C_\square
\]

는 $\mathcal C_\square$로부터 canonical하게 결정된다.

따라서

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\text{ and }
\pi_\square
\text{ are canonical derived components determined by }
\mathcal C_\square,
\text{ not independent degrees of freedom.}
\]

isolated or disconnected Qaether sectors의 허용, free-standing primitive triangular cycles의 허용, 그리고 motif-carrier non-interpenetration 조건은 위의 derived propositions가 아니라 v2.5에서 명시적으로 선택된 admissibility principles이다.

이들은 Part III의 Euclidean $T/O$ reference-order criteria와 독립적이다.

7.3 External reference results

다음은 Qaether ontology 단독의 내부 정리가 아니다.

\[
2T+2O\text{ Euclidean edge closure}
\]

\[
TOTO/TTOO\text{ cyclic reference type}
\]

\[
8T+6O\text{ spherical-link counting}
\]

\[
\Sigma_{\mathrm{co}}\text{ cuboctahedral reference state}
\]

이들은 Part III의 auxiliary filled-cell reference complex에서 얻어져 Qaether motif network의 benchmark로 사용된다.

7.4 Explicit finite consistency witness

현재 공리들이 서로 양립 가능한지 확인하기 위해 하나의 명시적 finite model을 만들 수 있다.

먼저 다음 네 점을 regular tetrahedral set으로 잡는다.

\[
\begin{aligned}
\rho(a_0)&=(0,0,0),\\
\rho(a_1)&=(\ell_Q,0,0),\\
\rho(a_2)&=\left(\frac{\ell_Q}{2},\frac{\sqrt3\,\ell_Q}{2},0\right),\\
\rho(a_3)&=\left(\frac{\ell_Q}{2},\frac{\sqrt3\,\ell_Q}{6},\sqrt{\frac23}\,\ell_Q\right).
\end{aligned}
\]

이 네 점의 모든 pairwise distance는 $\ell_Q$이다.

다음으로

\[
c=(10\ell_Q,0,0)
\]

를 잡고 standard orthonormal basis $(e_1,e_2,e_3)$에 대해

\[
\rho(x_i^\pm)=c\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt2}e_i,
\qquad i=1,2,3
\]

로 regular octahedral set을 둔다. 이때 non-opposite pair의 거리는 $\ell_Q$이고 opposite pair의 거리는 $\sqrt2\,\ell_Q$이다. 또한 두 motif 사이의 최소 거리는 $\ell_Q$보다 훨씬 크다.

\[
V_T=\{a_0,a_1,a_2,a_3\},
\qquad
V_O=\{x_i^\pm:i=1,2,3\}
\]

\[
V=V_T\sqcup V_O.
\]

$E$는 $T$ 내부의 여섯 edge와 $O$ 내부의 열두 edge만으로 둔다.

\[
E=E(T)\sqcup E(O)
\]

$\mathcal C_\triangle$에는 $T$의 네 triangle과 $O$의 여덟 triangle을 넣고,
$\mathcal C_\square$에는 $O$의 세 distinguished square를 넣는다. 각 square support에서 두 $C_4$ orientation class를 canonical하게 구성하여 $\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$를 얻고, $\pi_\square$는 두 orientation을 원래 $D_4$ support로 보내는 canonical projection으로 둔다.

\[
\mathcal M_T=\{T\},
\qquad
\mathcal M_O=\{O\}.
\]

그리고 모든 vertex에서

\[
q_v=1_{SU(2)}
\]

로 둔다.

이 구성은 simple graph, injectivity, exclusion/contact scale, T/O motif geometry, selected-cycle conditions, O-square sector, bond support, motif non-interpenetration, canonical oriented-square double cover, flat induced holonomy를 동시에 만족한다.

따라서 표준 집합론과 Euclidean geometry를 배경으로 할 때 v2.5의 formal core에는 적어도 하나의 비자명한 model이 존재한다.

\[
\text{The v2.5 core is jointly satisfiable.}
\]

이는 물론 물리적 진실성을 증명하는 것이 아니라, 현재 공리계가 내부적으로 즉시 모순되는 체계는 아니라는 consistency witness이다.

7.5 Connected T/O interface consistency witness

2.16의 motif overlap axiom이 단지 서로 멀리 떨어진 motifs에서만 만족되는 것은 아니다. 하나의 primitive triangle을 실제로 공유하는 connected $T/O$ configuration도 명시적으로 만들 수 있다. 여기서는 계산 편의를 위해 $\ell_Q=1$로 둔다.

공유 triangle을

\[
A=(0,0,0),\quad
B=(1,0,0),\quad
C=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0\right)
\]

로 놓는다. regular tetrahedral apex를

\[
D=
\left(
\frac12,
\frac{\sqrt3}{6},
\sqrt{\frac23}
\right)
\]

로 두면 $A,B,C,D$의 모든 pairwise distance는 $1$이다.

공유 triangle의 반대쪽에 regular octahedron의 중심을

\[
c=
\left(
\frac12,
\frac{\sqrt3}{6},
-\frac{\sqrt6}{6}
\right)
\]

로 두고

\[
A'=2c-A,
\qquad
B'=2c-B,
\qquad
C'=2c-C
\]

를 정의한다. 그러면

\[
V_O=\{A,B,C,A',B',C'\}
\]

는 regular octahedral vertex set이며 opposite pairs는

\[
\{A,A'\},\quad
\{B,B'\},\quad
\{C,C'\}
\]

이다. opposite distance는 $\sqrt2$, 모든 non-opposite distance는 $1$이다.

또한 tetrahedral apex와 새 octahedral vertices 사이에는

\[
|D-A'|=|D-B'|=|D-C'|=\sqrt3>1
\]

이므로 exclusion scale을 위반하지 않는다.

기하학적으로 tetrahedral carrier는 공유 plane $z=0$의 한쪽에, octahedral carrier는 반대쪽에 놓이며

\[
H(T)\cap H(O)
=
\operatorname{conv}\{A,B,C\}
\]

이고

\[
\operatorname{int}H(T)\cap\operatorname{int}H(O)=\varnothing.
\]

이제

\[
V=\{A,B,C,D,A',B',C'\}
\]

로 두고 $E$는 $T$와 $O$의 primitive edge sets의 합집합으로 둔다.

\[
E=E(T)\cup E(O).
\]

공유 triangle $[A,B,C]_{D_3}$의 세 edge는 하나의 simple-graph edge로만 존재한다. $\mathcal C_\triangle$에는 $T$와 $O$의 distinguished triangles를 넣고, $\mathcal C_\square$에는 $O$의 세 distinguished squares를 넣는다. $\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$와 $\pi_\square$는 Part VI에 따라 canonical하게 구성하고 모든 vertex에서 $q_v=1_{SU(2)}$로 둔다.

그러면 bond support, square O-sector, flat induced holonomy까지 포함하여 v2.5의 core conditions가 모두 만족된다. 따라서 triangle-level $T/O$ interface는 contact/exclusion axiom과 motif non-interpenetration axiom을 동시에 만족하는 connected consistency witness를 실제로 갖는다.

여기서

\[
\operatorname{conv}\{A,B,C\}
\]

는 auxiliary carrier intersection이지 primitive filled face가 아니다.

7.6 Firewall for later layers

다음 양들은 아직 v2.5 core에 정의되지 않는다.

\[
n_\square,
\quad
Q_O,
\quad
\Pi_\triangle,
\quad
\kappa_\square
\]

또한 다음도 아직 정의되지 않는다.

- energy functional
- time-evolution law
- motif creation/annihilation rule
- defect dynamics
- continuum limit
- gravitational field equation
- quantum measurement rule
- Standard-Model identification

따라서 이후 층은 현재 정리와 충돌하지 않도록 별도의 definition/theorem chain으로 추가되어야 한다.

특히 future triangular parity는 Part V의 비가환 ordered-product caveat를 반드시 존중해야 하고, future square polarity는 Part VI의 reversal involution 위에서 정의되어야 한다.

v2.5 Formal Core Summary (공식 핵심 요약)

Qaether v2.5은 static boundary-graph foundation이다.

독립 primitive data는

\[
\mathcal D_{\mathrm{prim}}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
\]

이고, full displayed configuration은

\[
\mathcal Q_{2.5}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right).
\]

여기서 $\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$와 $\pi_\square$는 $\mathcal C_\square$에 의해 canonical하게 결정되는 derived components이며 independent degrees of freedom가 아니다.

존재론적 core는

\[
\text{Qaether}=\text{vertex}
\]

\[
\text{primitive bond}=\text{edge}
\]

\[
\text{primitive structures are boundary structures}
\]

\[
\text{no filled faces, no filled volumes in the Qaether ontology}
\]

이다.

현재의 $\rho:V\to\mathbb R^3$는 auxiliary Euclidean vertex realization이다. v2.5은 graph-first ontology를 취하지만 Euclidean geometry 자체를 아직 graph에서 완전히 유도하지 않는다.

Contact/exclusion structure는

\[
|\rho(v)-\rho(w)|\ge\ell_Q
\quad(v\neq w)
\]

및

\[
\{v,w\}\in E
\Longrightarrow
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
\]

를 만족한다. 역은 요구하지 않으므로 $E$는 full contact relation의 selected subgraph이다. edge는 unordered endpoint pair로 주어지는 primitive contact adjacency이며 별도의 embedded curve/path 자유도를 갖지 않는다.

uniform exclusion condition으로부터 geometric local finiteness와 countability가 유도되어

\[
|V|\le\aleph_0
\]

이고, uniform exclusion condition과 primitive contact condition을 함께 사용하면 3차원 kissing-number bound에 의해

\[
\forall v\in V,
\qquad
\deg(v)\le12
\]

이다.

primitive cycle의 ``2D boundary closure''는 cycle vertices가 하나의 2D affine plane 안에서 닫힌다는 뜻이며 filled planar region을 primitive object로 포함한다는 뜻이 아니다.

$T$-motif는

\[
G_Q[V_T]\cong K_4
\]

이고

\[
T\sim4C_\triangle,
\qquad
\mathcal C_\square(T)=\varnothing.
\]

$O$-motif는

\[
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
\]

이고

\[
O\sim3C_\square^\perp\sim8C_\triangle.
\]

각 $O$-edge는 정확히 두 distinguished triangles와 하나의 distinguished square에 속한다.

선택된 모든 primitive square는 O-sector에 속한다.

\[
\forall C_\square\in\mathcal C_\square,
\quad
\exists O\in\mathcal M_O:
C_\square\in\mathcal C_\square(O).
\]

반면 primitive triangle은 반드시 motif에 속할 필요가 없으므로 free-standing triangle을 허용한다.

모든 primitive bond는 적어도 하나의 selected primitive boundary cycle에 의해 지지된다.

\[
\forall e\in E,
\quad
\exists C\in\mathcal C_\triangle\cup\mathcal C_\square:
e\in E(C).
\]

isolated/disconnected Qaether sector도 금지되지 않는다. 다만 서로 다른 connected sectors 사이에는 primitive-incidence path가 없으므로 boundary-incidence layer에서 relationally inaccessible하다.

각 motif의 auxiliary carrier를

\[
H(M)=\operatorname{conv}(\rho(V_M))
\]

로 두면 distinct motifs는

\[
H(M)\cap H(N)=\operatorname{conv}(\rho(V_M\cap V_N))
\]

및

\[
\operatorname{int}H(M)\cap\operatorname{int}H(N)=\varnothing
\]

을 만족한다. 따라서 motif contact는 shared Qaether vertices에서 induced되며 interior interpenetration은 금지된다. 이 auxiliary hull은 filled-cell ontology를 추가하지 않는다.

각 vertex는

\[
q_v\in SU(2)
\]

상태를 갖고 oriented edge에는

\[
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
\]

가 유도된다. 모든 closed graph loop에 대해

\[
h_C=1_{SU(2)}.
\]

따라서 이 induced discrete connection은 flat하다.

반면 ordered vertex-cycle product

\[
P_{\widetilde C}=q_{v_0}q_{v_1}\cdots q_{v_{n-1}}
\]

는 unoriented $D_n$ cycle support 위의 quantity가 아니며 시작점 변경 아래 conjugation되고 reversal에는 별도의 transformation law가 필요하다. 따라서 future $\Pi_\triangle$는 반드시 oriented/frame/conjugacy structure를 추가하여 정의해야 한다.

primitive square support는

\[
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
\]

로 unoriented이지만 oriented structural lift는

\[
\vec C_\square=\langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
\]

로 정의된다. 각 square support는 정확히 두 oriented lifts를 가진다.

\[
\operatorname{Or}(C_\square)=\{\vec C_\square,-\vec C_\square\}.
\]

reversal은

\[
\iota_\square(\vec C_\square)=-\vec C_\square,
\qquad
\iota_\square^2=\mathrm{id}
\]

인 structural involution이다. 이것을 physical conjugation으로 해석하려면 future observable의 transformation law가 추가되어야 한다.

Part III의

\[
\boxed{2T+2O}
\]

\[
\boxed{TOTO/TTOO}
\]

\[
\boxed{8T+6O}
\]

\[
\boxed{\Sigma_{\mathrm{co}}}
\]

는 boundary-graph ontology에서 자동으로 나오는 내부 정리가 아니라 Euclidean filled-cell reference complex에서 가져온 local-order criteria이다.

그 안에서도

\[
TTOO\neq\text{automatic Euclidean defect}
\]

이고

\[
8T+6O\neq\text{automatic cuboctahedral uniqueness}
\]

임을 명시한다.

v2.5 formal core는 서로 분리된 regular $T/O$ finite model뿐 아니라 하나의 primitive triangle을 공유하는 non-interpenetrating connected $T/O$ model도 명시적으로 갖는다. 따라서 표준 집합론과 Euclidean geometry를 배경으로 할 때 jointly satisfiable하다.

Final Statement

\[
\text{Qaether v2.5 is a consistent static boundary-graph foundation with auxiliary Euclidean realization.}
\]

\[
\text{It separates primitive data, canonical-derived components, derived propositions, and Euclidean reference criteria.}
\]

\[
\text{Its edges are selected contact adjacencies with no independent path degree of freedom.}
\]

\[
\text{Its primitive cycles are planar boundary closures, not filled faces.}
\]

\[
\text{Its motifs may share vertex-induced boundary incidence but may not geometrically interpenetrate.}
\]

\[
\text{Its vertex-induced }SU(2)\text{ connection is flat, while noncommutative vertex products require ordered/frame data.}
\]

\[
\text{Its square support is unoriented, while its structural square lift carries a }\mathbb Z_2\text{ reversal involution.}
\]

\[
\text{It permits free-standing primitive triangles and relationally inaccessible disconnected Qaether sectors.}
\]

\[
\text{It prepares but does not yet define }n_\square,Q_O,\Pi_\triangle,\kappa_\square,\text{ spin, charge, color, or dynamics.}
\]

\[
\text{Those belong to later structural and dynamical layers.}
\]